Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
I = I
( ) ( ) , ( −1)
�� � ��� � �
=
I
I
⋅ I
⋅ I
⋅ I
⋅ I
=
I ⋅ I
�( �) �, �( �−1) ��( �−1)
I
, ( ) , ( −1) , ( −1) ( −1)
� � � � � � � � � �
( ) , ( −1) , ( −1) ( −1)
� � � � � � � � �
( ) ( −1)
� � � �
Eine äquivalente Umformung des Nenners in Glg. [3.1.39] ergibt sich mit Hilfe der Randverteilungsdichte
und dem Satz von Bayes:
() ( )( , � −1)
∫ ( ) ( )( , � −1)
I ζ < = I ζ α< ⋅Gα
� � � �−1 �
=
�
∫
�
� � , � � �−1 �
⎛
( ) ( ) ⎝ , � ( )( )
�� � �
I ⎜ζ α <
⎞⎟ ⎠ ⋅ I α< ⋅Gα
� � �, � �−1 � −1 −1 −1
Aus Glg. [3.1.40] und Glg. [3.1.39] ergibt sich die Bestimmungsgleichung für I ��( � ) :
()( α )
�� � �
I <
In Glg. [3.1.41] ist I �() � � �( � )
−
T
Kovarianz () () ()
=
( Ck ⋅Pk⋅ Ck + R)
∫
�
⎛⎜
�( �) � �( � ) ⎝ζ
α, , −1 �
⎞⎟ � −1⎠ ⋅
��( � )( α −1 � −1)
( ) (
⎛⎜
) , �
⎞⎟ ⎠ ⋅ ��( � )( � ) ⋅
I < I <
I ⎝ζ
α < I α< Gα
, −1 −1 −1 −1
� � � � � �
$ = α
−
gaußverteilt mit dem Erwartungswert &N ( ) ⋅ [
, −1 � �( �)
�
und der
. Die Gleichung wird rekursiv, beginnend mit dem Start-
wert I ( α � ) , gelöst. Die Verteilungsdichte I ( α � ) muß bekannt sein oder geeignet angenom-
men werden. Bei Unkenntnis wird am besten Gleichverteilung angenommen. Eine Berech-
+
nung der Zustände [ kann nun über den bedingten Erwartungswert erfolgen:
�
∞
Ε{ () () } ∫ ξ
( ) ( )( ξ � ) ξ
+
$[ = [ N < N = < = ⋅ I < ⋅G
� �
−∞
� � � � � �
�
[3.1.39]
[3.1.40]
[3.1.41]
[3.1.42]
Mit dem Satz nach Bayes, der Formel zu den Randverteilungen und der Vertauschung der
Integrationsreihenfolge ergibt sich dann:
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