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3. Adaptive Kalman-Filter − − � � [ ψ$ �� ] 0 Ω= $ ⋅ −. ⋅&⋅3 −3 ⋅& ⋅ . + . ⋅ ⋅. ⋅$ � � Durch Einsetzen 1 von 3 − auf der rechten Seite der Glg. [3.1.33] folgt Glg. [3.1.34a]: [ ] − ( � ) Ω Ω − − 3 = $ ⋅ $ ⋅3 ⋅ $ + Ω+ * ⋅4 ⋅* ⋅ $ + Ω+ * ⋅4 ⋅* � � � � 2 2 = $ ⋅3 ⋅ $ + $ ⋅ ⋅ $ + + $ ⋅* ⋅4 ⋅* ⋅ $ + * ⋅4 ⋅* � � � � Führt man dies N mal durch, dann ergibt sich Glg. [3.1.34b]: � � ( ) ( ) ( ) � ∑ Ω ∑ − − 3 = $ ⋅3 ⋅ $ + $ ⋅ ⋅ $ + $ ⋅* ⋅4 ⋅* ⋅ $ � � � � −1 �= 0 � −1 � = 0 � � � � Löst man Glg. [3.1.34b] nach dem Term mit 4 auf und multipliziert von links mit & und von � rechts mit ( $ ) & � − � ⋅ , dann ergibt sich ein Satz von Gleichungen zur Bestimmungen der unbekannten Parameter der Matrix 4: � −1 ∑ �= 0 ( ) ( ) � − − − � � − � & ⋅ $ ⋅* ⋅4 ⋅* ⋅ $ ⋅ & = &⋅ 3 ⋅ $ ⋅& − & ⋅ $ ⋅ 3 ⋅& − � � � � � � � � −1 ∑ �= 0 für N = 1, L, Q − ( ) � & ⋅ $ ⋅Ω⋅ $ ⋅& Setzt man auf der rechten Seite die Schätzwerte für 3 & � − ⋅ (Glg. [3.1.29] mit Glg. [3.1.16]) ein, dann erhält man ein linear abhängiges System von Gleichungen. Mit dem linear unabhängigen Teil dieser Gleichungen können die unbekannten Parameter von 4 bestimmt werden. Zusammenfassung der Merkmale der Korrelationsverfahren • Die Adaption unbekannter Parameter ist nur in den Rauschkomponenten 4 und 5 möglich. • Das Verfahren der LQQRYDWLRQ FRUUHODWLRQ ist leistungsfähiger als die RXWSXW FRUUHODWLRQ Methode, da die Residuen schwächer korreliert sind als die Ausgangsgrößen und die Korrelationswerte genauer geschätzt werden können. • Die Parameter der Matrix 4 können nur dann explizit berechnet werden, wenn entweder der Rang der Beobachtungsmatrix n ist, oder wenn die Matrix 4 nur PÂQ Unbekannte besitzt (mit Q=Rang($) und P=Rang(&)). • Die Verstärkung . kann ohne explizite Bestimmung der Matrix 4 berechnet werden (siehe RXWSXW FRUUHODWLRQ). 1 Wie in der Einleitung zum Kapitel 3.1.3 beschrieben, geschieht dies unter der Voraussetzung, daß das Filter einen stationären Zustand eingenommen hat. � � � � [3.1.34] [3.1.34a] [3.1.34b] [3.1.35] Seite 35
3. Adaptive Kalman-Filter 0HWKRGH QDFK %D\HV Ziel des Kalman Filters ist es, einen Schätzwert für die nicht meßbaren oder von Störungen überlagerten Zustände zu bestimmen. In der bedingten Verteilungsdichtefunktion I ( ) ( )( ξ < � � � � � ) der Zufallsvariablen [N () bedingt auf die Meßwerte
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5. Zusammenfassung merziellen Einsa
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6.1 Herleitungen zur Maximum Likeli
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6.2 Zahlenwerte und Fehlerabschätz
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6.3 Lineares Kalman-Filter zur Best
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Literaturangaben Literaturangaben L
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Literaturangaben [Fox, 1993] Fox J.
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