Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
�
ψ
��
� −1 − �
0
[ ( ) ] [ ψ ��]
⎧⎪
& ⋅ $ ⋅ , − . ⋅& ⋅ $ ⋅ 3 ⋅& − . ⋅ N > 0
= ⎨ − �
⎩⎪ &⋅3 ⋅ & + 5 N = 0
In Glg. [3.1.28] kann nach 3 & � − ⋅ aufgelöst werden. Eine alternative Form für 3 & � − ⋅ fin-
�
det man in [Mehra, 1970]. Setzt man nun die Schätzwerte aus Glg. [3.1.16] für ψ$ ein, dann
��
kann 3 & � − ⋅ bestimmt werden:
3 & � − ⋅
⎡ & ⋅ $
⎡ 1
⎤
ψ$
⎤
��
⎢
⎢ ⎥
& ⋅ $ ⋅( , − . ⋅& ) ⋅ $
⎥
0 *
= . ⋅ ψ$
+ Λ ⎢ M ⎥ mit Λ = ⎢
⎥
��
⎢ M ⎥
� ⎢ ⎥
⎣ψ$
⎦
⎢
�−1
⎥
��
⎣&
⋅[ $ ⋅( , − . ⋅& ) ] ⋅ $ ⎦
Λ * ist die Pseudo-Inverse von Λ . Für sie gilt wiederum Glg. [3.1.30]:
( )
−1
*
Λ = Λ ⋅Λ ⋅Λ
� �
Das Prozeßrauschen $ 5 kann direkt aus Glg. [3.1.28] berechnet werden:
$ 5 = ψ$ −&⋅ 0
( 3 & � − ⋅ )
��
Sind wiederum die Anzahl der unbekannten Parameter in der GULYLQJ QRLVH Matrix 4 kleiner
oder gleich PÂQ, dann kann eine Lösung für Q angegeben werden. Ohne diese Voraussetzung
kann keine explizite Lösung für die Parameter der Matrix 4 angegeben werden. Jedoch kann
die Kalmangain trotzdem berechnet werden. Dies wird aber im weiteren nicht untersucht (siehe
ebenso RXWSXW FRUUHODWLRQ).
Mit Hilfe der Glg. [3.1.23] kann eine Lösung für 4 bestimmt werden. Da 3 − die stationäre
Prädiktionsfehlerkovarianzmatrix darstellt, kann für sie nachfolgende Gleichung angegeben
werden:
− − − �
3 = ( { H () L ⋅H
() L }
−
= $ ⋅( , − . ⋅&) ⋅3 ⋅( , − . ⋅& ) ⋅ $ + $ ⋅. ⋅5 ⋅. ⋅ $ + * ⋅4 ⋅*
� � � � �
Werden nun alle Terme mit 4 und 3 − zusammengefaßt und der Rest durch Ω substituiert
ergibt sich Glg. [3.1.33]:
mit
− −
3 = $ ⋅3 ⋅ $ + Ω + * ⋅4 ⋅*
� �
[3.1.28]
[3.1.29]
[3.1.30]
[3.1.31]
[3.1.32]
[3.1.33]
Seite 34