Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
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Bei allen vorangegangenen linearen, adaptiven Kalman-Filtern ist es möglich, Stabilität nachzuweisen.
Größtenteils basieren diese Stabilitätsaussagen auf der Theorie nach Ljapunov (siehe
hierzu z. B. [Föllinger, 1991]).
Für zeitvariante Systeme genügt es, eine Ljapunov-Funktion :[N ( ( ) , N)
zu finden, die eine
skalare Abbildung des Zustandsvektors darstellt. Ist diese Ljapunov-Funktion in einer Umgebung
der Ruhelage positiv definit und außerdem die zeitliche Ableitung negativ definit, dann
ist diese Ruhelage asymptotisch stabil. Damit ist die Stabilität einer Ruhelage eines dynamischen
Systems, beschrieben durch seine Zustandsdifferentialgleichung bzw.
-differenzengleichung, überprüfbar. Je nach weiteren Eigenschaften der Ljapunow-Funktion,
kann asymptotische Stabilität im großen bzw. im ganzen sichergestellt werden.
Für die homogene Schätzgleichung (Glg. [3.1.7] und Glg. [3.1.9] in Glg. [3.1.11] und Nullsetzen
der Eingangsgrößen) kann folgende Ljapunov-Funktion angegeben werden:
( )
+ + � + − 1 +
( $ () , ) = $ () ⋅ () ⋅ $ ()
� �
�
: [ N N [ N 3 N [ N
Damit :[N ( ) , N eine Ljapunov-Funktion ist, muß sichergestellt sein, daß die Inverse der
+ −1
Schätzfehlerkovrianzmatrix 3 () N unter gewissen Bedingungen begrenzt ist. Aus der Ana-
+ −1
lyse von 3 () N ergeben sich die folgenden zwei hinreichenden Bedingungen (z. B. [Loffeld,
1990]):
�
∑
( , ) ( 1) ( 1) ( 1)
( , )
α ⋅, ≤ Φ L M ⋅* M− ⋅4 M − ⋅* M− ⋅Φ L M ≤β⋅, �=− � �+
1
� �
Erfüllt ein stochastisches System die Ungleichung [3.1.80], dann nennt man es stochastisch
steuerbar und mit der Ungleichung [3.1.81] stochastisch beobachtbar.
�
∑
� � −1
( , ) () () () ( , )
α ⋅, ≤ Φ L M ⋅& M ⋅5 M ⋅& M ⋅Φ L M ≤β⋅, �=− � �+
1
Da diese beiden Ungleichungen eine hinreichende Bedingung für die Stabilität des Kalman-
Filters darstellen, ist ein Kalman-Filter auch dann stabil, wenn das zugrunde liegende stochastische
Modell instabil ist, aber obige Ungleichungen erfüllt sind.
3.2 Nichtlineare adaptive Kalman-Filter
[3.1.79]
[3.1.80]
[3.1.81]
Einen anderen Ansatz zur gleichzeitigen Schätzung von Zuständen und Parametern soll nachfolgend
kurz skizziert werden. Unbekannte Parameter in einer Zustandsraumdarstellung nach
Kapitel 3.1.1 können als Zustände modelliert werden. Das resultierende Zustandsraummodell
wird nichtlinear. Diese Arten von nichtlinearen Zustandsraummodellen können mit dem Extended
Kalman-Filter behandelt werden.
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