Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
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Kalman-Filter gehören zu den Estimationsalgorithmen, die im Zustandsraum formuliert werden.
Sie berechnen optimale Schätzwerte der Zustände eines dynamischen Systems aus gestörten
und damit unsicheren Meßwerten. Die Information über die gesuchten Zustände ist
oftmals in den Messungen nicht direkt enthalten, sondern muß aus den Meßwerten und dem
hinterlegten Zustandsraummodell beobachtet werden. Da sowohl die Systemgleichungen als
auch die Messungen von Störungen überlagert sind, müssen die stochastischen Eigenschaften
der im System- und Meßmodell enthaltenen Unsicherheiten berücksichtigt werden. Damit
gehört das Kalman-Filter zu den stochastischen Beobachtern. Im Gegensatz zum Wiener-
Filter besitzen Kalman-Filter eine zeitvariante Filterstruktur. Sie eignen sich deshalb für Probleme,
bei denen sich die stochastischen Eigenschaften je nach Betriebspunkt ändern.
Zur optimalen Zustandsschätzung benötigen Kalman-Filter eine genaue Beschreibung sowohl
der System- und Meßgleichungen, als auch der stochastischen Eigenschaften der im Systemund
Meßmodell enthaltenen Unsicherheiten. In allen praktischen Anwendungen können diese
Parameter jedoch nur mit einer endlichen Genauigkeit bestimmt werden. Es gibt eine Vielzahl
von Verfahren, mit denen ein lineares Systemmodell eines physikalischen Prozesses berechnet
werden kann. Diese linearen Systemmodelle beschreiben ebenso nur endlich genau die meistens
in der Natur vorkommenden nichtlinearen dynamischen Zusammenhänge.
Unscharfe Parameter verringern die Güte dieser Optimalfilter und können im Extremfall das
Filter divergieren lassen. Ändern sich diese Parameter mit der Zeit, verstärkt sich die angesprochene
Problematik. Deshalb ist es häufig notwendig, gleichzeitig zur Zustandsschätzung
die unsicheren Parameter mitzuschätzen, zu adaptieren 1 .
Nach einer Einordnung der Kalman-Filter bei Systemen mit Parameterungenauigkeiten, werden
in diesem Kapitel die linearen Kalman-Filter Verfahren hergeleitet und diskutiert. Insbesondere
das Verfahren nach Maximum Likelihood wird hierbei vollständig hergeleitet, so daß
die unbekannten Parameter in allen Matrizen der Zustandsraummodellierung vorkommen
können. Der Vollständigkeit halber schließt sich die Betrachtung der nichtlinearen adaptiven
1 Lateinisch: ‘anpassen’
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