Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
/ = ln I
������
− −
�=
1
() �
+
�
−
Q + P⋅
N
= − ⋅ln
2
1 ⎡
⎢
ξ − [ ˆ
2 ⎣−
� −
� 1
⋅∑
2
�
⎤
⎥
⎦
⎛ ⎞
⎜ξ
< α ⎟
⎝−
� − � − � ⎠
�
+
( 2⋅
S)
− ⋅ln(
3 N ) − ln 3 () N
⋅ 3
+
N
−1
1
2
⎡
⎢
ξ − [ ˆ
⎣−
� −
− � −1
[ < � − &()
N ⋅ [ ˆ � ] ⋅[
3 ] ⋅ < − &()
N
�
� �
+
�
⎤
⎥
−
⎦
1
2
∑
�=
1
⎛
⎜
⎝
− [ ⋅ [ ˆ ] �
Die Bildung der partiellen Ableitungen nach den unbekannten Zuständen und nach den unbekannten
Parametern dient zur Bestimmung des Maximums der Likelihoodfunktion:
∂ ⎡
⎢ln
I
∂ ξ ⎣
∂ ⎡
⎢ln
I
∂α
⎣
������
− −
������
− −
() �
() �
�
−
�
−
ξ < α
− � − � − �
ξ < α
−�
− � − �
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
�
= �
= �ˆ
ˆ α
ξ
= �
= �ˆ
ˆ α
ξ
1. Bestimmungsgleichung der Maximum Likelihood Methode
Mit Glg. [3.1.57] wird Glg. [3.1.58] zu
T
ξ
− − ⎡ ⎤
⎢
⎣ − ⎥
⎦
⋅ = − ⇒ − = + +
T
[ $ P ( N ) 0 [ $ [ $
� =
−
�
��
α
ξ=
��
Demzufolge wird der Zustandsschätzwert durch ein Kalman-Filter berechnet, das auf den
Schätzwerten der unbekannten Parameter basiert.
Die partielle Ableitung nach den Parametern gestaltet sich aufwendiger, da die unbekannten
Parameter prinzipiell in den Matrizen $, %, &, 4 und 5 vorkommen können. Damit werden
auch die Fehlerkovarianzmatrizen 3 + , 3 − und 3 beeinflußt. So müssen Ableitungen der
��
∂ ln ;
folgender Form gebildet werden: und
∂α
�
∂
−1
;
. Diese können durch folgende Umfor-
∂α�
mungen, die [Maybeck, 1968] entnommen sind vereinfacht werden:
= 0
−
��
−−
�
= 0
−
+
�
�
α =
∂ ln ; ∂ ln ; ∂ ; 1 ∂ ; ⎧ ∂ ; ⎫
−1
= ⋅ = ⋅ = VS ⎨;
⋅ ⎬
∂α � ∂ ; ∂α � ; ∂α � ⎩ ∂α �⎭
∂
−
;
∂α
1
∂ ;
=−; ⋅ ⋅;
∂α
−1 −1
� �
��
⎞
⎟ −
⎠
[3.1.57]
[3.1.58]
[3.1.59]
[3.1.60]
[3.1.61]
[3.1.62]
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