Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
�
�
� 1 �
� 1
ψ$ ψ$
�� = ⋅∑ \ ⋅ \ bzw.
� � �
�� = ⋅∑U ⋅U
�
1
−
1
�= �
Diese Schätzwerte sind für kurze Zeitreihen offsetbehaftet. Für eine offsetfreie Bestimmung
der Autokorrelationsfunktionen müßte durch 1 N anstatt durch 1 geteilt werden. Allerdings
gibt man trotzdem der Berechnung über Glg. [3.1.16] den Vorzug, da im allgemeinen der
mittlere quadratische Fehler kleiner ist [Birkenfeld, 1977].
Unter der Voraussetzung, daß das Filter einen stationären Zustand eingenommen hat kann die
− −
Schreibweise der Fehlerkovarianzmatrizen vereinfacht werden: 3 ( N) → 3 und
+ +
3 ( N) → 3 .
RXWSXW FRUUHODWLRQ
Die Korrelationsfunktion der Ausgangsgröße ergibt sich unter Berücksichtigung von Glg.
[3.1.2] zu Glg. [3.1.17]:
�
ψ ��
�= �
�
�−� { () (
�
) }
{ −() −( ) } −()
( )
= ( \ L ⋅\ L−N � � { �}
{ () ⋅
−(
−
�
) ⋅
�} + { () ⋅ ( −
�
) }
= ( & ⋅[ L ⋅[ L−N ⋅ & + ( & ⋅[ L ⋅Y L− N +
( Y L [ L N & ( Y L Y L N
Unter Ausnutzung der Tatsache, daß das Meßrauschen unkorreliert zum Filterprädiktionswert
ist, ergibt sich Glg. [3.1.17], für N>0 unter Berücksichtigung von Glg. [3.1.1] und Glg.
[3.1.11], zu Glg. [3.1.18]:
�
ψ ��
− �
⎧&⋅3
⋅ & + 5 N = 0
= ⎨ � − �
⎩&
⋅ $ ⋅3 ⋅ & N > 0
− +
mit 3 = $ ⋅3 ⋅ $ + * ⋅4 ⋅*
� �
Schreibt man nun Glg. [3.1.18] für N Q nieder (Glg. [3.1.19]) und formt entsprechend um,
so bekommt man eine implizite Gleichung für 4 (Glg. [3.1.20]), die nicht immer allgemein
lösbar ist. Wenn der Rang(&) Q ist oder die Besetzung der Matrix 4 nur PÂQ Unbekannte
oder weniger hat, dann kann 4 berechnet werden.
⎡ 1
ψ ⎤
��
⎢ ⎥
−
⎢ M ⎥ = Γ ⋅3 ⋅&
⎢ �
ψ ⎥
�� ⎣ ⎦
mit
⎡ & ⋅ $ ⎤
⎢ ⎥
Γ = ⎢ M ⎥
�
⎣⎢
& ⋅ $ ⎦
⎥
�
[3.1.16]
[3.1.17]
[3.1.18]
[3.1.19]
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