Nomenklatur - im ZESS

6. Herleitungen
Φ( Δϕ)
⎡
⎢1
= ⎢
⎢
⎣0
1 ⎛
⋅⎜ 1−
e
β ⎝
e
β
− ⋅Δϕ
6⋅
n
β
− ⋅Δϕ
6⋅
n
⎞⎤
⎟⎥
⎠
⎥
⎥
⎦
Die kurbelwinkeldiskrete Beschreibung der Zustände lautet:
( ) ( )
( )
x( k + 1) = Φ( Δϕ) ⋅ x( k) + Φ( ϕk + 1 − ϑ) ⋅ G ⋅ w ϕ ⋅ dϑ
−
−
= A⋅ x k + w k
d
ϕ
k+
1
∫
ϕ
k
Der diskrete Rauschprozeß w d ( k)
berechnet sich durch eine lineare Operation aus einem weißen
Rauschprozeß und ist somit auch ein Gaußprozeß. Seine beiden Momente ergeben sich zu:
ϕk
+ 1
{ ( ) } = k+
− ⋅ ⋅
− ∫ ( 1 ) { ( ) }
d
−
E w k Φ ϕ ϑ G E w ϕ ⋅ dϑ
= 0
−
ϕ
ϕ
k
k
⎧
T ⎫
T
T
E⎨w k ⋅ w k
G q G d Q ( k)
k
k
− d −
⎬
⎩
d ⎭ n
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = + 1
1
( ) ( ) ∫ Φ( ϕ + 1 ϑ) Φ(
ϕ + 1 ϑ) ϑ
6
−
ϕ
k
Einsetzen der Glg. [6.3.5] und Teile von Glg. [6.3.3] in Glg. [6.3.8] und anschließende Integration
und Vereinfachung ergeben:
q
1
= −
6⋅
n⋅
β
11 3
( )
Q k
− d
q q
=
q q
⎡
⎢
⎣
11 12
21 22
β
β
⎡
− ⋅Δ ϕ
− ⋅Δ
ϕ ⎤
3⋅ n 6⋅
n
⋅ q ⋅⎢ 9⋅ n + 3⋅ n⋅ e − 12⋅
n⋅ e − β ⋅Δ
ϕ⎥
⎣
⎦
⎤
⎥
⎦
β
1 ⎡
ϕ
q12 = q21 = 2 ⋅ q ⋅⎢ 1− 2⋅
e + e
2⋅
β ⎣
β
1 ⎡
3 n
q22 = ⋅ q ⋅ 1−
e
2⋅
β
⎢
⎣
β
− ⋅Δ − ⋅Δ
ϕ
6⋅ n 3⋅
n
− ⋅Δ
ϕ
⋅
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
d
[6.3.5]
[6.3.6]
[6.3.7]
[6.3.8]
[6.3.9]
[6.3.10]
[6.3.11]
[6.3.12]
Damit ist die Transformation des linearen, zeitkontinuierlichen Zustandsraummodells aus
Glg. [6.3.1] abgeschlossen.
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