Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
2. Bestimmungsgleichung der Maximum Likelihood Methode
+
∂ ⎧ ∂ 3 ( N)
⎫
−2⋅ = ⋅ 2
∂α � ⎩⎪ ∂α � ⎭
−
∂ [ $
−
∂α
+ −1
�
�
[] / VS⎨3 ( N)
⎬ − ⋅ ∑ () �� ()
�= �− �+
1
2 ⋅
= 0
−
�
∑
�= �− �+
1
⎧
⎪⎡
VS⎨ ⎣
⎢3��
M 3�� M U U 3�� M
−−
−−
� � −−
⎩
⎪
�
− �
∑ [ $
−
�= �− �+
1
�
�
∂ & M
∂α �
��
−−
�
�
−
−
�
() − () ⋅ ⋅ ⋅ ()
− −
⋅& M ⋅3 M ⋅U +
−
��
1 1 −1 −−
()
()
−1
⋅ ⋅3 M ⋅U −
�
�
�
−−
−1
()
⎤
⎦
⎥ ⋅
∂ 3 M ⎫
⎪
⎬
∂α �
⎭
⎪
Glg. [3.1.60] und Glg. [3.1.65] sind die Maximum Likelihood Gleichungen für die gleichzeitige
Schätzung von Parametern und Zuständen.
Da für Glg. [3.1.65] keine geschlossene Lösung angegeben werden kann, muß sie mit einem
iterativen Verfahren gelöst werden. Die allgemeine Gleichung I() G = 0 läßt sich mit dem
Iterationsverfahren nach Newton-Raphson lösen. Für den Schätzwert G ergibt sich:
−1
G G I ( G ) I( G
�+ 1 = − � ′ ⋅ � �)
mit I ′ ( G ) ≠ 0 . Mit Glg. [3.1.49] und dem Vektor α der ge-
�
schätzten Parameterrealisationen läßt sich das Newton-Raphson Verfahren für die Lösung von
Glg. [3.1.65] angeben:
−1
�
⎛ 2
∂
⎡ $ α ,
⎤⎞
⎜ / < ∂ $ α ,
$ α = $ ⎣⎢ − ⎦⎥ ⎟ /
⎡
<
⎤
�
�
�
α −
⎣⎢ − � ⎦⎥
⎜
2 ⎟ ⋅
− �+ 1 − � ⎜ ∂α$
∂α$
⎝
− ⎟
⎠ 1 42−443 scoreVektor
Das Iterationsverfahren hat den Nachteil, daß die zweite Ableitung der Likelihoodfunktion
berechnet werden muß. Durch eine Ersetzung der zweiten Ableitung durch ein Näherungsverfahren
kann erheblich Rechenzeit eingespart werden. Für große Zeitreihen kann die zweite
Ableitung durch die bedingte Informationsmatrix nach Rao ersetzt werden:
mit
⎛ 2 ⎡
∂ / α$
⎤⎞
⎜ , <
− � −
⎟
�
⎜
⎣⎢ ⎦⎥
⎟
⎡
2 - N,
α$
⎤
≅−
⎜ ∂α$
�
⎜ −
⎟ ⎣⎢ − ⎦⎥
⎟
⎝
⎠
�
α = ��
+
[3.1.65]
[3.1.66]
[3.1.67]
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