Nomenklatur - im ZESS
Nomenklatur - im ZESS
Nomenklatur - im ZESS
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
3. Adaptive Kalman-Filter<br />
Zusammenfassung der Merkmale des Adaptionsalgorithmus nach Bayes<br />
• Die Adaption unbekannter Parameter ist in den Matrizen $ % & 4 und 5 möglich.<br />
• Die Information über die Verteilungsdichte des unbekannten Parameters ist notwendig.<br />
• Bei der Methode nach Bayes ist eine Integration über den gesamten Realisationsbereich<br />
erforderlich. Eine Berechnung in Echtzeit ist erst <strong>im</strong> PXOWLSOH PRGHO ILOWHULQJ DOJRULWKP<br />
durch eine Diskretisierung des Wertebereichs der unbekannten Parameter, möglich.<br />
0D[LPXP /LNHOLKRRG 9HUIDKUHQ<br />
Zur Motivation der Betrachtung des Max<strong>im</strong>um Likelihood Verfahrens sollen zu Beginn dieses<br />
Kapitels die charakteristischen Merkmale dieser Schätzung betrachtet werden.<br />
Eigenschaften der Max<strong>im</strong>um Likelihood Schätzung<br />
Wenn ein erwartungstreuer Schätzwert des unbekannten Vektors Θ − mit endlicher Kovarianz<br />
existiert, so daß kein anderer erwartungstreuer Schätzwert mit kleinerer Kovarianz existiert,<br />
dann wird er <strong>im</strong>mer durch das Max<strong>im</strong>um Likelihood Verfahren gefunden. Für die Kovarianz<br />
des Schätzwerts kann eine untere Grenze nach Cramér-Rao angegeben werden. Vernachlässigt<br />
man die statistischen Voraussetzungen der Rauschprozesse, dann ergibt sich trotzdem noch<br />
eine Schätzung die mit steigender Anzahl von Meßwerten asymptotisch gegen den wahren<br />
Wert läuft [Maybeck 1979].<br />
Gibt es überhaupt eine wirksamste Schätzung, so wird sie durch die Max<strong>im</strong>um Likelihood<br />
Methode gefunden [Bronstein, 1989].<br />
Wie der Name schon andeutet, hat die Max<strong>im</strong>um Likelihood Methode das Ziel, die Parameter<br />
⎛<br />
zu finden, die eine Likelihoodfunktion / ⎜<br />
⎞<br />
Θ N < ⎟<br />
⎝ − − ⎠<br />
, bezogen auf die unbekannten Parameter<br />
�<br />
Θ , max<strong>im</strong>ieren. Die Ableitung der Likelihoodfunktion nach den unbekannten Parametern<br />
−<br />
ergibt folgende Best<strong>im</strong>mungsgleichung:<br />
⎛<br />
∂ / ⎜<br />
⎝<br />
Θ N <<br />
− −<br />
∂ Θ N<br />
−<br />
�<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
� ���= ���<br />
− −<br />
= 0<br />
−<br />
�<br />
[3.1.49]<br />
Im Vektor Θ − sind sowohl die gesuchten Zustände als auch die unbekannten Parameter zu-<br />
sammengefaßt. In < � ist die Meßwertgeschichte bis zum Zeitpunkt k enthalten (siehe Glg.<br />
[3.1.37]). Als Likelihoodfunktionen kommen bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder<br />
auch Logarithmen von bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen zum Einsatz. Glg. [3.1.36],<br />
die zur Berechnung der Adaption nach Bayes verwendet wird, hat den Nachteil, daß die statistischen<br />
Eigenschaften des Parametervektors bekannt sein müssen. Deshalb wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion<br />
benutzt, bei der der Parametervektor nur als Bedingung auftritt.<br />
Seite 40
Change language