Nomenklatur - im ZESS

6.1 Herleitungen zur Maximum Likelihood Methode
Diese Gleichung wird nun nach den unbekannten Parametern abgeleitet:
∂ x$ ∂ x$
− k −
=
∂α ∂α
+ −
m
−1
−
T
∂ Pyy
∂ P T −1 − ∂ C −1 − T −−
+ ⋅ C ⋅ Pyy ⋅ y + P ⋅ ⋅ P y P C y
∂α
k
yy ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −
∂α
k ∂α k
−−
−−
−1
−
T
∂ P
∂ P ∂ C yy
T −1 − −
−1 − − T −− −
⋅ C ⋅ P C x$ P P C x$ P C C x$
yy ⋅ ⋅ k − ⋅ ⋅ yy ⋅ ⋅ k − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k −
∂α −−
∂α −−
∂α
P
−
k
m m
m
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
C
x
T ∂
∂ $
C P x$ P C P C
∂α
−1 − − T −1
yy
−− ∂α m
k
yy
−−
−1 − T
Mit Glg. [62] und P = C ⋅ P ⋅ C + R folgt:
∂ P
−1
yy
−−
∂α
m
yy
−−
m
−1
T
−1 ⎡ ∂ C − T ∂ P T − ∂ C ∂ R ⎤
= − Pyy
⋅⎢ ⋅ P ⋅ C + C ⋅ ⋅ C + C ⋅ P ⋅ + P
−− ⎣∂α
m ∂α m ∂α m ∂α
⎥⋅
m ⎦
Setzt man Glg. [6.1.5] in Glg. [6.1.4] ein und mit r = y − C⋅ x
−
$ folgt:
+
∂ x$
∂ x$
− k ⎡ − T − ⎤ −
= I − P ⋅ C ⋅ Pyy ⋅ C
∂α ⎣
⎢
⎦
⎥
⋅
−− ∂α
m
−
m
−
k
m
k k k
m
m
−1
yy
−−
T
−
− ∂ C − ∂ P T −
+ P ⋅ ⋅ Pyy ⋅ r k + ⋅ C ⋅ Pyy ⋅ r k −
∂α −− ∂α −−
1 k
1 1
m
−1
T
⎡ ∂ C ∂ P
∂ C ∂ R ⎤
− T −1 − T
T −
−1
P ⋅ C ⋅ Pyy
⋅⎢ ⋅ P ⋅ C + C ⋅ ⋅ C + C ⋅ P ⋅ + ⎥⋅ Pyy ⋅ r
−− ⎣∂α
m ∂α m ∂α m ∂α m ⎦ −−
− T −1 C −
P ⋅ C ⋅ Pyy
⋅ ⋅ x k
−−
∂
$
∂α
−1
Wiedereinführen von K und E1 = Pyy ⋅ r
−
m
−−
m
ergibt
∂ x$
∂ x$ − k
k ∂ P T ∂ P T
= [ I − K ⋅ C]
⋅ C E K C C E
∂α
∂α ∂α
∂α
−
+ −
− −1
+ ⋅ ⋅ 1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 +
m
P
m m
T
T
∂ C ∂ C ∂ C T
⋅ ⋅ E1 − K ⋅ C ⋅ P ⋅ ⋅ E1 − K ⋅ ⋅ P ⋅ C ⋅ E1
−
∂α
∂α ∂α
− − −
m
∂ R ∂ C
K ⋅ ⋅ E K x$
1 − ⋅ ⋅
∂α ∂α
m m
und anschließendes Zusammenfassen:
−
k
m m
m
m
k
−
[6.1.4]
[6.1.5]
[6.1.6]
[6.1.7]
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