Nomenklatur - im ZESS
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3. Adaptive Kalman-Filter<br />
Meßwertinterpolation (PHDVXUHPHQW XSGDWH)<br />
−<br />
UN ( ) = \N ( ) −&N ( ) ⋅[<br />
$ ( N)<br />
[ ]<br />
− � −<br />
�<br />
() = () ⋅ () ⋅ () ⋅ () ⋅ () + ()<br />
.N 3 N &N &N 3 N &N 5N<br />
+ −<br />
[ $ ( N ) = [ $ ( N ) + . ( N) ⋅U(<br />
N)<br />
( ) ( )<br />
+ −<br />
3 ( N ) = , −. ( N) ⋅&( N) ⋅3<br />
N<br />
Die formale Unterscheidung zwischen Zufallsvariablen und der Realisation der Zufallsvariablen<br />
lehnt sich an [Loffeld, 1990] an und ist hier noch einmal aufgeführt.<br />
( )<br />
[N → Zufallsvariable<br />
[ � → Realisation obiger Zufallsvariable<br />
Bei den Kovarianz- und Korrelationsverfahren wird die deterministische Eingangsgröße<br />
%N ( ) ⋅ XN ( ) in Glg. [3.1.1] weggelassen, da sie bei der Herleitung durch die Erwartungswertbildung<br />
verschwindet. An den Stellen, an denen es nicht unbedingt zum Verständnis notwendig<br />
ist, wird aus Gründen der Übersichtlichkeit die Schreibweise folgendermaßen vereinfacht<br />
$N ( ) → $ , usw. Insbesondere bei dem Kovarianz-Matching Verfahren und den Korrelationsmethoden<br />
werden die Matrizen $, % und & ohne Index angegeben, da diese als zeitinvariant<br />
angesehen werden müssen.<br />
.RYDULDQ] 0DWFKLQJ<br />
Bei der Kovarianzanpassung wird die praktisch ermittelte Kovarianz des Residuums $ 3 mit<br />
�<br />
der theoretischen Residuenkovarianz aus Glg. [3.1.9] des Kalman-Filters verglichen. St<strong>im</strong>men<br />
sie nicht überein, kann über die Änderung der Kovarianzen der Rauschkomponenten ein Angleich<br />
erzielt werden. Ist beispielsweise die reale Kovarianz des Residuums größer, dann wird<br />
die Kovarianz des Pozeßrauschens 4 vergrößert. Dies führt zu einer direkten Erhöhung der<br />
Prädiktionsfehlerkovarianz (Glg. [3.1.8]) und dadurch zu einem Angleich der Schätzfehlerkovarianz<br />
(Glg. [3.1.12]). Äquivalent dazu kann auch das Meßrauschen 5 erhöht werden, um die<br />
Schätzfehlerkovarianzmatrix anzugleichen. Allerdings ist normalerweise die Unsicherheit bei<br />
der Best<strong>im</strong>mung der Kovarianzen be<strong>im</strong> Prozeßrauschen 4 größer als be<strong>im</strong> Meßrauschen 5, so<br />
daß diese Größe verändert wird. Die Kovarianz des Residuums wird dabei durch seine empirische<br />
Varianz (VDPSOH FRYDULDQFH, Glg. [3.1.13]) approx<strong>im</strong>iert:<br />
�<br />
�<br />
$ $<br />
1<br />
3 = (UN { ( ) ⋅ UN ( ) } = ⋅ U ⋅U<br />
�<br />
∑ P<br />
� = 1<br />
�<br />
� �<br />
−1<br />
[3.1.9]<br />
[3.1.10]<br />
[3.1.11]<br />
[3.1.12]<br />
[3.1.12a]<br />
[3.1.12b]<br />
[3.1.13]<br />
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