Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
− − � �
[ ψ$ �� ] 0
Ω= $ ⋅ −. ⋅&⋅3 −3 ⋅& ⋅ . + . ⋅ ⋅. ⋅$
� �
Durch Einsetzen 1 von 3 − auf der rechten Seite der Glg. [3.1.33] folgt Glg. [3.1.34a]:
[ ]
− (
�
) Ω Ω
− −
3 = $ ⋅ $ ⋅3 ⋅ $ + Ω+ * ⋅4 ⋅* ⋅ $ + Ω+
* ⋅4 ⋅*
� � � �
2 2
= $ ⋅3 ⋅ $ + $ ⋅ ⋅ $ + + $ ⋅* ⋅4 ⋅* ⋅ $ + * ⋅4 ⋅*
� � � �
Führt man dies N mal durch, dann ergibt sich Glg. [3.1.34b]:
� � ( ) ( ) ( )
�
∑ Ω ∑
− −
3 = $ ⋅3 ⋅ $ + $ ⋅ ⋅ $ + $ ⋅* ⋅4 ⋅* ⋅ $
� � �
� −1
�=
0
� −1
� = 0
� � � �
Löst man Glg. [3.1.34b] nach dem Term mit 4 auf und multipliziert von links mit & und von
�
rechts mit ( $ ) &
�
−
�
⋅ , dann ergibt sich ein Satz von Gleichungen zur Bestimmungen der
unbekannten Parameter der Matrix 4:
� −1
∑
�=
0
( ) ( )
�
− − − � � − �
& ⋅ $ ⋅* ⋅4 ⋅* ⋅ $ ⋅ & = &⋅ 3 ⋅ $ ⋅& − & ⋅ $ ⋅ 3 ⋅& −
� � � �
� � �
� −1
∑
�=
0
für N = 1,
L,
Q
− ( )
�
& ⋅ $ ⋅Ω⋅ $ ⋅&
Setzt man auf der rechten Seite die Schätzwerte für 3 & � − ⋅ (Glg. [3.1.29] mit Glg. [3.1.16])
ein, dann erhält man ein linear abhängiges System von Gleichungen. Mit dem linear unabhängigen
Teil dieser Gleichungen können die unbekannten Parameter von 4 bestimmt werden.
Zusammenfassung der Merkmale der Korrelationsverfahren
• Die Adaption unbekannter Parameter ist nur in den Rauschkomponenten 4 und 5 möglich.
• Das Verfahren der LQQRYDWLRQ FRUUHODWLRQ ist leistungsfähiger als die RXWSXW FRUUHODWLRQ
Methode, da die Residuen schwächer korreliert sind als die Ausgangsgrößen und die Korrelationswerte
genauer geschätzt werden können.
• Die Parameter der Matrix 4 können nur dann explizit berechnet werden, wenn entweder
der Rang der Beobachtungsmatrix n ist, oder wenn die Matrix 4 nur PÂQ Unbekannte besitzt
(mit Q=Rang($) und P=Rang(&)).
• Die Verstärkung . kann ohne explizite Bestimmung der Matrix 4 berechnet werden (siehe
RXWSXW FRUUHODWLRQ).
1
Wie in der Einleitung zum Kapitel 3.1.3 beschrieben, geschieht dies unter der Voraussetzung, daß das Filter
einen stationären Zustand eingenommen hat.
� � �
�
[3.1.34]
[3.1.34a]
[3.1.34b]
[3.1.35]
Seite 35