Nomenklatur - im ZESS

3. Adaptive Kalman-Filter
∞
∫
ξ
−∞
�
⋅ I
�
[ ⋅ Gα
] ⋅
∞
() ()( ξ < � ) ⋅ Gξ
= ξ ⋅ I () ()( ξ , α < � )
� � �
� � ��
� �
�
[ ˆ
+
�
=
⇓
∫ � ∫�
−∞
∞
= ∫ξ⋅ � ∫�
−∞
∞
∫ ⎢ � ∫
−∞
= Ε
⎡
⎣
[ I
⋅ Gα]
⋅
ξ
�
�
⋅ I
Gξ
() ()( ξ α,
< � ) ⋅ I ()( α < � )
� ���
�
� � �
�
Gξ
() ()( ξ α,
< � ) ⋅ Gξ
I ()( α < � )
� ���
�
⎥ ⋅ � � �
+
{ [ () N < () N = < } = [ ˆ () ⋅ I ()( α < ) ⋅ Gα
�
�
�
�
∫
�
�
� � = α
�
⎤
⎦
�
� � �
�
�
⋅ Gα
Diskussion des adaptiven Kalman-Filter Algorithmus nach Bayes
Nach dem PHDVXUHPHQW XSGDWH des linearen Kalman-Filters, wird der von D unabhängige
Schätzwert mit den Glg. [3.1.41] und Glg. [3.1.43] berechnet. In beiden Gleichungen wird
auch sofort der Nachteil dieser Methode deutlich: Es muß über einen festen Bereich A integriert
werden. Dies läßt sich durch die Diskretisierung des Parametervektors, d.h.
{ }
D∈D1 , L , D�, vermeiden, wodurch die Berechnung der Integration durch eine Summenbildung
ersetzt wird. Zu Beginn muß die Verteilungsdichtefunktion I ( α � ) bekannt sein. Die
Wahrscheinlichkeit S ( W � 0 ) gibt an, daß D zum Zeitpunkt t0 (es liegt noch keine Messung vor)
den Wert D � angenommen hat. Daraus folgt für I ( α ) :
mit den Randbedingungen
�
( α) = ∑ � ( 0)
⋅δ( α −α
� )
I S W
�
�=
1
( ) �(
)
∑ S W XQG S W
� 0 = 1 0 ≥ 0
�=
1
Definiert man nun noch die hypothetisch bedingte Wahrscheinlichkeit,
{ }
( ) α ( )
S W = S D = < N = <
� � � �
wobei Glg. [3.1.46] ebenso Glg. [3.1.45] erfüllt, dann läßt sich äquivalent zu obiger Herleitung
ein rekursiver Algorithmus angeben:
S W
( )
� �
=
�
∑
�=
1
I S W
⋅
( ) ( ) ( −1)
� � ��� �−1 � �
⎛⎜
⎝
I S W
, −1
⋅
( ) ( ) ( −1)
� � � � � � �
⎞ ⎠ ⎟
[3.1.43]
[3.1.44]
[3.1.45]
[3.1.46]
[3.1.47]
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