De la fission aux nouvelles filières - Cenbg - IN2P3

axe transverse), a 3 sa déformation octupolaire (son asymétrie droite/gauche par rapport à un
plan perpendiculaire en O à Oz), a 4 sa déformation hexadécapolaire (non nulle en particulier
lorsque la goutte a la forme de deux sous-gouttes reliées par un col), etc ....
La conservation du volume de la goutte et celle de la position de son centre de masse fournissent
deux équations :
⎧
⎪⎨ V ≡ 4π ∫ ∫ R(θ)
3 R3 0 = dΩ r 2 dr = 1 ∫
dΩ (R(θ)) 3
∫ ∫ 0 3
R(θ)
⎪⎩ 0 = dΩ (r cosθ)r 2 dr = 1 ∫
(2-2)
dΩ cosθ (R(θ)) 4
4
0
qui permettent d’exprimer a 0 et a 1 en fonction des a l , l ≥ 2. En limitant le développement des
puissances de R(θ) au second ordre dans les a l , on trouve :
a 0 = − ∑ l≥2
(a l ) 2
2l + 1 , a 1 = 0 (2-3)
L’énergie de déformation de la goutte est la somme de la variation de son énergie de surface et de
son énergie coulombienne en fonction des paramètres de déformation a=(a 2 , a 3 , . . .). L’énergie
de surface est E S (a) = σS(a) où S(a) est l’aire de la surface de la goutte et σ le coefficient de
tension de surface. A déformation nulle :
E S (0) = 4πR 2 0 σ (2-4)
A déformation non nulle, l’aire S(a) peut être calculée selon l’expression :
∫ ∫ ( ( )
S(a) = dS = dΩ (R(θ)) 2 + i ⃗ 2 1/2
lR(θ))
(2-5)
S(a)
avec i ⃗ l=⃗r × −→ ∇. En se limitant au second ordre dans les a l et en tenant compte de (2-3), on
obtient après un calcul assez fastidieux :
(
)
E S (a) = E S (0) 1 + 1 ∑ (l − 1)(l + 2)
a 2 l
(2-6)
2 2l + 1
L’énergie coulombienne de la goutte est :
E C (a) = 1 ∫
2
d 3 r 1
∫
l≥2
d 3 r 2
ρ c (⃗r 1 )ρ c (⃗r 2 )
|⃗r 1 − ⃗r 2 |
(2-7)
où la densité de charge ρ c (⃗r) vaut Ze/V si r < R(θ) et zéro sinon. En développant 1/|⃗r 1 − ⃗r 2 |
en multipôles :
∞
1
|⃗r 1 − ⃗r 2 | = ∑ ∑+l
4π r<
l Y m∗
l (Ω 1 )Yl m (Ω 2 ) (2-8)
2l + 1
l=0 m=−l
avec r < = min(r 1 , r 2 ), r > = max(r 1 , r 2 ) et en se limitant comme plus haut à l’ordre deux dans
les a l , on trouve après un calcul tout aussi fastidieux que le précédent :
(
E C (a) = 3 (Ze) 2
1 − 5 ∑ )
l − 1
5 R 0 (2l + 1) 2a2 l
(2-9)
l≥2
5
r l+1
>