De la fission aux nouvelles filières - Cenbg - IN2P3

croît de 0 à presque l’infini n’excède pas quelques nanomètres. Il est ainsi beaucoup plus
faible que la taille de la fonction d’onde dans l’état fondamental, qui est de l’ordre d’une
dizaine de microns. C’est pourquoi l’approximation du potentiel de Fermi par une
discontinuité du deuxième ordre est parfaitement valable. Ce potentiel infini en zéro donne la
condition à l’origine pour la fonction d’onde :
ψ z = 0 = 0. (2.16)
( )
La solution exacte de l’équation (2.14) avec le potentiel (2.15) et régulière en z = 0 est
donnée par une fonction spéciale dite fonction d’Airy [2.15].
( ) Ai ⎛ z
ψ z = C ⎜ ⎟
⎞ . (2.17)
⎝ z ⎠
Dans cette expression, nous avons introduit explicitement l’échelle caractéristique du
problème
z
2mg
2
= 3 ≈
0
5,87 m
2
0
μ (2.18)
et la constante de normalisation C.
La condition en zéro (2.16) donne la condition de quantification
zn
= z0λ n
(2.19)
où λ
n
sont des zéros de la fonction d’Airy qui définissent les énergies quantiques du système
En
= mgz0λ n
(2.20)
Pour les quatre premiers états, nous avons
λ ={2.34, 4.09, 5.52, 6.79, …}
qui donnent
n
E n
= {1.4, 2.5, 3.3, 4.1, …} peV (2.21)
2
La probabilité de présence ψ pour ces quatre premiers états est présentée sur la figure 2.5.
n
1st quantum
state
2nd quantum
state
0 10 20 30 40 50
Z, micron
0 10 20 30 40 50
Z, micron
3rd quantum
state
4th quantum
state
0 10 20 30 40 50
Z, micron
0 10 20 30 40 50
Z, micron
2
Fig. 2.5. La probabilité de présence ψ en fonction de z pour les quatre premiers états quantiques.
n
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