De la fission aux nouvelles filières - Cenbg - IN2P3

possibilité de s’affranchir d’approximation résultant de discrétisations spatiale ou énergétique
(par rapport aux méthodes déterministes).
Les techniques d’intégrations numériques se caractérisent par l’approximation de l’intégrale
recherchée par une somme pondérée (poids Α i ) des valeurs de la fonction considérée en un
nombre de points (nœuds x i ) donné (formule de quadrature), ce qui donne pour une fonction ƒ
dans un espace de dimension d :
∫
R
n
d f ( x ) dx = ∑ Α if ( x i)
+ Ε[ f ]
i=1
Où Ε[ƒ] représente l’erreur associée à la quadrature choisie. L’effort de calcul est
proportionnel au nombre de nœuds n utilisés, correspondant à une subdivision par coordonnée
d’un facteur n 1 / d . On en déduit que Ε[ƒ] α n -η/d , où η est un paramètre dont la valeur dépend
de la quadrature retenue (e.g. pour une règle du trapèze, η = 2). Ainsi lorsque la dimension
augmente, l’effort de calcul pour faire diminuer l’erreur doit être de plus en plus important.
Pour une intégration Monte Carlo, on aurait Ε[ƒ] α n -1/2 et donc indépendance de l’évolution
de l’erreur par rapport à la dimension. Le Monte Carlo se révèle ainsi avantageux (en terme de
vitesse de convergence) dès que d ≥ 2η. Il faut noter que la convergence en n -1/2 , typique des
méthodes Monte Carlo, est particulièrement lente en pratique. Néanmoins, les techniques de
réduction de variance et la puissance des ordinateurs actuels en liaison avec une
parallélisation des algorithmes naturelle, atténuent très notablement ce problème. Un autre
aspect rend le Monte Carlo attrayant : la possibilité de s’affranchir de discrétisations spatiale
ou énergétique (par rapport aux méthodes déterministes) et, de plus, de pouvoir traiter, sans
que cela soit beaucoup plus complexe, des géométries tridimensionnelles.
9.1.1 Définition de la méthode
La méthode de Monte Carlo peut se décomposer en différentes étapes :
- construire un processus statistique que l’on appelle jeu
- attribuer une valeur numérique score à une certaine réalisation du jeu
- calculer une moyenne de ces scores et une dispersion statistique (écart-type) permettant
d’estimer la précision obtenue sur la moyenne.
jeu
source
Histoire
de particules
SCORES ⇒ moyenne écart-type
surface
Figure 11 : Un exemple d’application de la méthode
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