Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 96 d = λ − 1 = 1 − 1 = 0; ⇒ cn+1 − cn cn → 0. Per le seguenti trasformazioni composte si verifica che valgono queste uguaglianze: M1 · M3 M3 · M1 ⎛ ⎞ ⎛ √ 1 −1 ⎝ 3⎠ = ⎝−4 4 7 ⎞ ⎛ ⎞ 4 √ 1 8⎠ ⎝ 3⎠ = (7 + 4 2 −4 8 9 2 √ ⎛ ⎞ √ 1 3) ⎝ 3⎠ 2 ⎛√ ⎞ ⎛ 3 7 ⎝ 1 ⎠ = ⎝4 −4 −1 ⎞ ⎛√ ⎞ 8 3 4⎠ ⎝ 1 ⎠ = (7 + 4 2 8 −4 9 2 √ ⎛√ ⎞ 3 3) ⎝ 1 ⎠ 2 M2 · M3 M3 · M2 M1 · M2 M2 · M1 4.3 Angoli pitagorici ⎛ ⎞ √ 2 ⎝ 5⎠ = (9 + 4 3 √ ⎛ ⎞ √ 2 5) ⎝ 5⎠ 3 ⎛ ⎞ 2 ⎝ √ 1 ⎠ = (9 + 4 5 √ ⎛ ⎞ 2 5) ⎝ √ 1 ⎠ 5 ⎛ ⎞ 1 ⎝ √ 2 ⎠ = (9 + 4 5 √ ⎛ ⎞ 1 5) ⎝ √ 2 ⎠ 5 ⎛√ ⎞ 5 ⎝ 2 ⎠ = (9 + 4 3 √ ⎛√ ⎞ 5 5) ⎝ 2 ⎠ . 3 Nell’ultima lezione svolta in Prima Liceo sono stati presentati alcuni risultati relativi agli insiemi delle coppie pitagoriche e degli angoli pitagorici: dopo aver riportato alcuni complementi relativi al primo insieme, approfondiamo l’analisi di questo secondo. Abbiamo visto che l’insieme delle terne pitagoriche primitive, non ordinate, è in corrispondenza biunivica con l’insieme dei triangoli pitagorici, quozientato con la relazione di similitudine. Diamo un’ulteriore definizione.
CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 97 Definizione 4.2. Dato un triangolo rettangolo, definiamo la sua ‘forma’ come il suo angolo minore. Definizione 4.3. Sia α ∈ 0, π . 4 α si dice ‘angolo pitagorico’ se è la forma di un triangolo pitagorico. L’insieme delle terne pitagoriche primitive (non ordinate) è in corrispondenza biunivoca con l’insieme degli angoli pitagorici. Presentiamo la dimostrazione della densità degli angoli pitagorici seguendo [3]. Teorema 4.1. (Shiu, 1983) Gli angoli pitagorici sono densi in 0, π . 4 Dimostrazione. Dobbiamo verificare che: ∀φ ∈ 0, π , ∀δ > 0, 4 esiste un triangolo pitagorico la cui forma θ soddisfa: φ − δ < θ < φ + δ. Dimostriamo che, dato un triangolo rettangolo T, esiste una successione di triangoli pitagorici la cui forma tende a quella di T. Osserviamo preliminarmente una proprietà valida sui triangoli pitagorici. Consideriamo un triangolo pitagorico di lati a, b, c; di forma θ. Supponiamo a = m 2 − n 2 , b = 2mn, c = m 2 + n 2 e θ opposto al lato a. tan(θ) = m2 − n 2 2mn 1 m n = − 2 n m t := tan(θ), r := m n ; t = 1 r − 2 1 r ⇒ r 2 − 2tr − 1 = 0. Quindi in un triangolo pitagorico, con le precedenti notazioni, vale: m n = r = t + √ t2 + 1 = tan(θ) + sec(θ). Sia 0 < φ < π e procediamo con la dimostrazione. 4 Poniamo u := tan(φ) + sec(φ).
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
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Introduzione Questo lavoro di tesi
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Capitolo 1 Lezioni 1.1 Introduzione
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