Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 98
Poiché u ∈ R, esiste una successione di razionali rk → u.
Dato che u > 1, esistono due successioni di interi positivi {mk}, {nk},
tali che
Siano
rk = mk
nk
, mk > nk, (mk, nk) = 1, ∀k ∈ N.
ak := mk 2 − nk 2 , bk := 2mknk, ck := mk 2 + nk 2 .
Esse definiscono una successione di triangoli pitagorici {Tn}, dove Tk è il
triangolo di lati ak, bk, ck.
Chiamiamo θk la forma di Tk.
rk = tan(θk) + sec(θk) → u.
Poiché u(φ) è continua e strettamente crescente, essa è invertibile, quindi:
θk → φ.
Se θ fosse invece opposto al lato b, la dimostrazione sarebbe analoga, con:
m
n
= cot(θ) + csc(θ).
Grazie ad una semplice osservazione possiamo enunciare un corollario al
teorema.
Osservazione 4.1. α ∈ 0, π
è un angolo pitagorico se e solo se
4
(cos(α), sin(α)) ∈ Q 2 .
Infatti: sin(α) = a
b
, cos(α) = , o viceversa.
c c
Abbiamo supposto per comodità che θ fosse l’angolo minore, ma possiamo
generalizzare il risultato all’intervallo 0, π
, passando al complementare.
2
Corollario 4.1.
esiste un angolo θ tale che
e
∀φ ∈ [0, 2π] , ∀δ > 0,
φ − δ < θ < φ + δ
(cos(θ)), sin(θ)) ∈ Q 2
cioè gli angoli con seno e coseno entrambi razionali sono densi in [0, 2π]!