Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 12
Con questa proposizione abbiamo dimostrato che le terne che abbiamo
trovato come esempi non sono le uniche possibili che soddisfano le nostre condizioni,
ma ne possiamo trovare anche tante altre, anzi le terne pitagoriche
sono infinite, perché al loro insieme devono appartenere almeno tutti i multipli
interi di (3, 4, 5) e questi sono infiniti, in quanto abbiamo infinite scelte
per m.
Da un punto di vista geometrico questo significa che ci sono anche infiniti
triangoli pitagorici: tutti i triangoli di lati 3m, 4m, 5m sono pitagorici. Come
sono questi triangoli rispetto al triangolo (3, 4, 5) ? I triangoli di questo tipo
sono tutti simili tra loro e quindi hanno tutti gli angoli corrispondenti uguali.
Quello che prima abbiamo dimostrato algebricamente poteva essere ottenuto
anche attraverso il seguente procedimento geometrico: osserviamo
che, se 3, 4, 5 sono i lati di un triangolo pitagorico, allora 3m, 4m, 5m sono i
lati di un altro triangolo pitagorico simile al primo con costante di similitudine
intera. Il triangolo di lati 3m, 4m, 5m è pitagorico in quanto i suoi lati
hanno misura intera e, essendo simile al triangolo di lati 3, 4, 5, esso avrà gli
angoli corrispondenti uguali: in particolare avrà un angolo retto. In questo
caso abbiamo mostrato che i triangoli pitagorici sono infiniti.
Ricapitolando:
- algebricamente: abbiamo trovato alcune terne pitagoriche sfruttando
risultati sui numeri interi o utilizzando il foglio elettronico; abbiamo
visto poi che per ogni terna è possibile ricavarne infinite altre, date dai
suoi multipli;
- geometricamente: abbiamo determinato alcuni triangoli pitagorici attraverso
un procedimento pratico ed abbiamo visto che per ogni triangolo
ne possiamo trovare infiniti altri simili ad esso.
Ci chiediamo: oltre ai multipli delle terne che abbiamo determinato, ci
sono anche altre terne pitagoriche?
Ovvero: oltre ai triangoli pitagorici simili a quelli trovati, ce ne sono anche
altri con angoli diversi?
Introduciamo il concetto di terna pitagorica primitiva:
Definizione 1.4. Una terna pitagorica (a, b, c) si dice primitiva se a, b, c non
hanno fattori comuni, cioè se MCD(a, b, c) = 1.
Esempio 1.2. La terna (3, 4, 5) è primitiva.
La terna (6, 8, 10) non è primitiva e tutte le terne del tipo (3m, 4m, 5m),
con m ≥ 2, non sono primitive perché MCD(3m, 4m, 5m) = m.