Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 97
Definizione 4.2. Dato un triangolo rettangolo, definiamo la sua ‘forma’
come il suo angolo minore.
Definizione 4.3. Sia α ∈ 0, π
. 4
α si dice ‘angolo pitagorico’ se è la forma di un triangolo pitagorico.
L’insieme delle terne pitagoriche primitive (non ordinate) è in corrispondenza
biunivoca con l’insieme degli angoli pitagorici.
Presentiamo la dimostrazione della densità degli angoli pitagorici seguendo
[3].
Teorema 4.1. (Shiu, 1983)
Gli angoli pitagorici sono densi in 0, π
. 4
Dimostrazione. Dobbiamo verificare che:
∀φ ∈ 0, π
, ∀δ > 0,
4
esiste un triangolo pitagorico la cui forma θ soddisfa:
φ − δ < θ < φ + δ.
Dimostriamo che, dato un triangolo rettangolo T, esiste una successione
di triangoli pitagorici la cui forma tende a quella di T.
Osserviamo preliminarmente una proprietà valida sui triangoli pitagorici.
Consideriamo un triangolo pitagorico di lati a, b, c; di forma θ.
Supponiamo a = m 2 − n 2 , b = 2mn, c = m 2 + n 2 e θ opposto al lato a.
tan(θ) = m2 − n 2
2mn
1
m n
= −
2 n m
t := tan(θ), r := m
n ;
t = 1
r −
2
1
r
⇒ r 2 − 2tr − 1 = 0.
Quindi in un triangolo pitagorico, con le precedenti notazioni, vale:
m
n = r = t + √ t2 + 1 = tan(θ) + sec(θ).
Sia 0 < φ < π e procediamo con la dimostrazione.
4
Poniamo
u := tan(φ) + sec(φ).