Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 106 Proposizione 4.8. Se CR ha centro a coordinate razionali e raggio R ∈ Q, allora P CR(CR) è denso in CR. Sia e supponiamo Quindi: (x, y) := C3 := {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 3} a b , ; a, b, c ∈ Z; (a, c) = (b, c) = 1. c c a 2 + b 2 = 3c 2 . Ci sono tre possibilità per a (e analogamente per b): - a ≡ 0 mod 3 ⇒ a 2 ≡ 0 mod 3 - a ≡ 1 mod 3 ⇒ a 2 ≡ 1mod 3 - a ≡ 2 mod 3 ⇒ a 2 ≡ 1 mod 3 Poiché vale l’uguaglianza, ⇒ a ≡ b ≡ 0 mod 3, quindi: a 2 ≡ b 2 ≡ 0 mod 9 ⇒ a 2 + b 2 ≡ 3c 2 ≡ 0 mod 9 c 2 ≡ 0 mod 3 ⇒ c 2 ≡ 0 mod 9 a ≡ b ≡ c mod 3 ⇒ (a, c), (b, c) = 1 che è assurdo perché avevamo preso le frazioni ridotte ai minimi termini. Proposizione 4.9. C3 non contiene punti a coordinate entrambe razionali. Sia C5 := {x 2 + y 2 = 5}; (2, 1) ∈ C5. Proposizione 4.10. P CR(C5) è denso in C5. ...e così via...
Bibliografia [1] Dan Romik, ‘The dynamics of Pythagorean Triples’, Transaction of The Am. Math. Society. Vol. 360, num. 11, 2008, pp. 6045-6064. S 0002-9947(08)04467-X. [2] A. Hall, ‘Genealogy of Pythagorean Triads’, Math. Gazette 54:390 (1970), 377-379. [3] P. Shiu, ‘The shapes and Sizes of Pythagorean Triangles’, Math. Gazette 67:439 (1983), 33-38. [4] W. S. Anglin, ‘Using Pythagorean Triangles to Approximate Angles’, The Am. Math. Monthly 95:6 (1988), 540-541. [5] R. Alperin, ‘The Modular tree of Pythagoras’, Amer. Math. Monthly 112 (2005), 807-816. MR2179860 (2006h:11029) [6] A. G. Shannon, A. F. Horadam ‘Generalized Fibonacci number triples’, Amer. Math. Mounthly 80:2 (1973), 187-190. [7] A. Lönnemo, ‘The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples’, Cut the Knot, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PT matrix.shtml [8] J. H. Silverman, ‘A Friendly Introduction to Number Theory’, Prentice-Hall. [9] R. Saunders, T. Randall, ‘The Family Tree of the Pythagorean Triplets Revisited’, Math. Gazette 78:482 (1994), 190-193. [10] D. McCullough, ‘Height and Excess of Pythagorean Triples’, Math. Magazine 78:1 (2005), 26-44. [11] Euclide, ‘Tutte le opere’, Bompiani (2007). [12] http://oai.cwi.nl/oai/asset/7151/7151A.pdf. 107
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