Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 7
previsioni su un probabile triangolo rettangolo allineandoli lungo i lati ed
utilizziamo lo spago con i nodi solo per la verifica. Si può vedere che ne
possiamo trovare altri, come ad esempio il triangolo di lati 5, 12, 13, o quello
di lati 6, 8, 10, ma le dimensioni dei lati crescono notevolmente.
Bisogna precisare che, essendo questo un metodo sperimentale, è soggetto
a degli errori di misurazione. Inoltre, per quanto possa essere lungo il nostro
spago, non possiamo affermare che tutti i triangoli pitagorici che abbiamo
trovato ad un certo punto siano davvero tutti quelli che possono esistere,
perché ce ne potrebbero essere sempre di più grandi. Tuttavia questo metodo
è molto utile come punto di partenza per farsi un’idea di quali possono essere
i triangoli pitagorici più semplici e per cercare di estrapolare da questi primi
esempi una possibile regola generale.
Prima di passare ad una generalizzazione rigorosa, guardiamo il problema
della ricerca di tutti i triangoli pitagorici da un punto di vista algebrico,
analizzando la terna di numeri interi che ci dà le lunghezze dei lati. Tutti
i triangoli in questione sono rettangoli: vale sempre quindi il teorema di
Pitagora, il quale afferma che la somma dei quadrati delle lunghezze dei
cateti è uguale al quadrato della lunghezza dell’ipotenusa. Per ogni terna
associata ad un triangolo pitagorico, avremo che tra questi tre numeri interi
vale questa relazione precisa. Diamo una definizione generale a tutte le terne
che soddisfano questa condizione.
Definizione 1.3. Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi
(a, b, c) tali che
a 2 + b 2 = c 2 .
a, b, c sono cioè le lunghezze dei lati di un triangolo pitagorico, fissata
un’unità di misura.
Esempio 1.1. (3, 4, 5) è una terna pitagorica: infatti
3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 .
Se 3 e 4 sono le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo (qualsiasi
sia l’unità di misura), la lunghezza dell’ipotenusa è uguale a 5 (considerando
la stessa unità di misura).
Il teorema di Pitagora è proprio quello che permette il passaggio da triangoli
a terne pitagoriche: è un teorema molto utilizzato e diffuso, del quale
sono state trovate molte dimostrazioni diverse a diversi livelli di difficoltà.
Analogamente a come abbiamo fatto dal punto di vista geometrico, abbiamo
visto che almeno un esempio di terna pitagorica esiste. Ci chiediamo adesso
se oltre a questa ne esistano altre ed eventualmente quante siano.