Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 2. RELAZIONE SULLE VERIFICHE 58
(n + k) 2 + n 2 − 2(n + k)n = n 2 + 2nk + k 2 + n 2 − 2n 2 − 2kn = k 2 .
C’è stato poi un altro tentativo di generalizzazione, con la seguente impostazione,
che poi non viene sviluppata:
(m 2 + n 2 ) − 2mn = k(m − n),
come se si stesse cercando una quantità in funzione di (m−n), supponendo
che la dipendenza sia lineare.
Esercizio 7:
Soluzione
L’esercizio risulta analogo a quello svolto in classe. Eccetto nella prima
terna, la differenza tra il doppio della lunghezza del cateto minore e quella
dell’ipotenusa è sempre uguale a 3; il rapporto tra l’ipotenusa ed il cateto
minore si avvicina sempre più a 2 ed i triangoli pitagorici associati a questa
sequenza di terne si avvicinano quindi alla metà del triangolo equilatero,
ma non saranno mai esattamente uguali ad esso: infatti questo triangolo
non può avere tutti i lati di misura intera. Supponendo per esempio che la
lunghezza dell’ipotenusa c (che corrisponde al lato l del triangolo equilatero)
sia un numero intero; la lunghezza del cateto maggiore b (che corrisponde
all’altezza del triangolo equilatero) è uguale a l √ 3
2
b = l ·
√ 3
2
= c ·
√ 3 = 2b
c .
√ 3
2 ,
. Quindi
Se anche b fosse un numero intero, avremmo che √ 3 sarebbe uguale ad
un numero razionale, che è assurdo. Non è possibile dunque che sia c che b
siano interi.
Consideriamo adesso il rapporto tra la lunghezza del cateto maggiore e di
quello minore, nei triangoli pitagorici della sequenza considerata. Avanzando
nella sequenza, esso si avvicina al rapporto tra le stesse quantità, calcolate
proprio sulla metà del triangolo equilatero:
c.maggiore
c.minore → l · √ 3/2
l/2 = √ 3.