Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 94
triangoli consecutivi sono quindi ‘sempre più vicini anche tra di loro’, ovvero
un triangolo viene trasformato in un altro triangolo ‘sempre più simile’ a se
stesso. Nella situazione limite, la trasformazione fisserà il triangolo isoscele,
cioè il triangolo di lati (1, 1, √ 2) sarà fissato in se stesso, o in un triangolo
simile a se stesso, da questa trasformazione. Possiamo verificare che:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 2 1
⎝2
1 2⎠
⎝ 1 ⎠
√
= (3 + 2
2 2 3 2
√ ⎛ ⎞
1
2) ⎝
√
1 ⎠ .
2
In realtà la trasformazione manda il triangolo in un suo multiplo, cioè in
un triangolo simile ad esso. In altre parole, il vettore
⎛ ⎞
1
v = ⎝
√
1 ⎠
2
è un vettore caratteristico della matrice, tale che, moltiplicato per essa, dà
come risultato un multiplo di se stesso. Un vettore con questa proprietà
viene definito autovettore della matrice.
Inoltre in questo modo abbiamo trovato anche un altro numero legato
alla matrice:
λ = (3 + 2 √ 2) :
questo numero λ viene definito autovalore della matrice.
Abbiamo trovato per adesso tre elementi collegati alla matrice M2 : il
vettore v ed i due numeri d e λ.
Ci chiediamo se λ sia legato a d, ovvero se le due osservazioni abbiano un
collegamento.
Le distanze relative si stabilizzano su d, avvicinandosi alla situazione in
cui il triangolo si trasforma in un suo multiplo.
Nella situazione limite:
cn+1 − cn
cn
→ d.
λc − c
= d.
c
Il legame tra il limite delle distanze relative d e l’autovalore λ è il seguente:
λ − 1 = d.