Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 104
Abbiamo visto che, se le coordinate del centro O = (a, b) sono linearmente
indipendenti sui razionali, allora la circonferenza può contenere al più un
punto di coordinate razionali.
Sempre nel caso di coordinate del centro O = (a, b) linearmente indipendenti
sui razionali, ci sono anche esempi di circonferenze con nessun punto
in Q 2 .
Esempio 4.1. L’insieme P CR relativo alla circonferenza di centro
O = ( √ 3, √ 2), passante per A = ( √ 2, − √ 3), è uguale all’insieme vuoto.
(x − √ 3) 2 + (y − √ 2) 2 − (( √ 2 − √ 3) 2 + (− √ 3 − √ 2) 2 ) = 0
x 2 + y 2 − 2 √ 3x − 2 √ 2y = 5
Se (x, y) ∈ Q 2 , non può soddisfare l’equazione: infatti avremmo l’assurdo:
⇒ n √ 2 + m √ 3 = p, n, m, p ∈ Q.
Quindi, per ogni (x, y) appartenente a questa circonferenza, (x, y) /∈ Q 2 .
Studiamo adesso le circonferenze di centro O = (a, b) ∈ Q 2 : come
abbiamo notato precedentemente, ci possiamo ricondurre allo studio della
circonferenza dello stesso raggio centrata nell’origine.
Proposizione 4.5. Sia C una circonferenza di centro O = (a, b) ∈ Q 2 e raggio
R e sia C ′ la circonferenza con lo stesso raggio R ma centrata nell’origine.
Allora
|P CR(C)| = |P CR(C ′ )|.