Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 10
è un quadrato perfetto e la possiamo vedere anche come somma di due
quadrati perché è uguale alla somma dei dispari fino a 7 (che è un quadrato
perfetto) più il quadrato 9:
(1 + 3 + 5 + 7) + 9.
Abbiamo trovato quindi due quadrati perfetti la cui somma è ancora un
quadrato perfetto:
4 2 + 3 2 = (1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 2 .
Con questo metodo ritroviamo la terna (3, 4, 5).
Possiamo ripetere il ragionamento partendo da un altro quadrato dispari:
25 = 5 2 .
(1 + 3 + . . . + 23) + 25 = 1 + 3 + . . . + 25.
Per i risultati enunciati precedentemente,
23 + 1
1 + 3 + . . . + 23 =
2
e
25 + 1
1 + 3 + . . . + 25 =
2
2
2
= 12 2
= 13 2 .
Vale quindi: 12 2 + 5 2 = 13 2 e questo ci porta a determinare una nuova terna
pitagorica: (5, 12, 13).
Basta quindi scegliere un quadrato dispari e seguire alcuni semplici passaggi
per ottenere un certo esempio di terna pitagorica.
Per esercizio considerare il quadrato 49 = 7 2 e procedere con questa
strategia. La terna che si ottiene è (7, 24, 25).
Si possono fare alcune osservazioni sulle terne ottenute con questo metodo?
Hanno una caratteristica comune?
Abbiamo visto che in generale i quadrati di due numeri consecutivi si
scrivono come somme di dispari, partendo da 1 fino ad un certo numero
dispari per il primo e fino al dispari successivo per il secondo (o viceversa).
In questo caso abbiamo trovato tutte terne con b e c
consecutivi: perché?
Possiamo chiederci se ne esistano altre con altre particolari proprietà: per
esempio:
esisteranno anche terne pitagoriche con a e b consecutivi,
oltre alla terna (3, 4, 5)?