Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 25
tramite le tre trasformazioni? Se consideriamo una terna pitagorica primitiva,
essa occupa un certo posto nello schema delle ramificazioni che abbiamo
raffigurato e può essere scritta nella forma generale con determinati m, n.
Se scegliamo una delle tre trasformazioni e la applichiamo alla terna, ne otteniamo
un’altra (visivamente seguendo il passo tra U, A, D corrispondente
alla trasformazione applicata): la forma di questa nuova terna sarà determinata
da un’altra coppia (m ′ , n ′ ). Ci chiediamo che legame ci sia tra (m, n) e
(m ′ , n ′ ).
Dopo aver considerato le sequenze nello schema di terne pitagoriche e di
triangoli pitagorici, consideriamo quindi lo schema delle coppie (m, n) relative
alla formula di Euclide. Prima di tutto dobbiamo assicurarci che questo si
possa scrivere senza ambiguità, ma questo è provato dal fatto che ad ogni
terna possiamo associare univocamente la relativa coppia (m, n).
Guardando lo schema per le terne, cominciamo a costruire l’analogo per le
coppie generatrici (ponendo al posto di ogni terna la corrispondente coppia):
scrivere per esercizio i primi passi relativi alle diverse trasformazioni.
La relazione tra le coppie (m, n) prima e dopo la trasformazione, dipende
ovviamente da quale delle tre abbiamo applicato.
Osserviamo che, applicando la trasformazione 1, il numero maggiore della
coppia precedente diventa il numero minore della coppia successiva. Se
invece applichiamo la trasformazione 3, il numero minore della coppia resta
invariato. Queste proprietà, valide per i primi passaggi, saranno vere in
generale?
Soffermiamoci sulla prima trasformazione. Vogliamo trovare una regola
che espliciti come cambia la coppia dopo tale trasformazione: se abbiamo
(m, n) coppia generatrice di una terna, vogliamo determinare (m ′ , n ′ ) della
terna trasformata, la quale dipenderà da (m, n). La terna che consideriamo
inizialmente è: (m 2 −n 2 , 2mn, m 2 +n 2 ). Scriviamo la trasformata in funzione
di m, n :
⎛
1 −2
⎞
2
⎛
⎝2
−1 2⎠
· ⎝
2 −2 3
⎛
⎞
= ⎝
3m2 + n2 − 4mn
4m2 − 2mn
5m2 + n2 − 4mn
m2 − n2 2mn
m2 + n2 ⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎛
⎠ = ⎝
m2 − n2 − 4mn + 2m2 + 2n2 2m2 − 2n2 − 2mn + 2m2 + 2n2 2m2 − 2n2 − 4mn + 3m2 + 3n2 (4m2 − 4mn + n2 ) − m2 2m(2m − n)
(4m2 − 4mn + n2 ) + m2 ⎞
⎛
⎠ = ⎝
La terna (m 2 − n 2 , 2mn, m 2 + n 2 ) viene trasformata nella terna
⎞
⎠ =
(2m − n) 2 − m2 2(2m − n)m
(2m − n) 2 + m2 ((2m − n) 2 − m 2 , 2(2m − n)m, (2m − n) 2 + m 2 ), ⇒ (m ′ , n ′ ) = (2m − n, m).
⎞
⎠