Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 80
- Se (a ′ , b ′ , c ′ ) = (|a ′ |, −|b ′ |, c ′ ) = (a ′′ , −b ′′ , c ′′ ),
⎛ ⎞ ⎛
a a
⎝b⎠
= M3 ⎝
c
′′
b ′′
c ′′
⎞
⎠ .
Come abbiamo visto, l’enunciato del teorema è ben descritto ponendo
le terne pitagoriche primitive (a, b, c) con a dispari e b pari nei nodi di un
albero infinito ternario, in cui la radice è la terna ’di base’ (3, 4, 5) ed ogni
terna (a, b, c) ha tre figli, che rappresentano la moltiplicazione della terna
(considerata come un vettore colonna) per le tre matrici M1, M2, M3. In
questi termini, per adesso possiamo affermare che in ogni nodo dell’albero c’è
una terna pitagorica primitiva, con la terza coordinata strettamente maggiore
di quella del suo genitore (in realtà si verifica che tutte e tre le coordinate
sono maggiori).
Dimostriamo adesso che, comunque scegliamo una terna pitagorica primitiva
(a, b, c) con a dispari e b pari, essa è presente in questo albero.
Abbiamo fissato in questo modo per convenzione l’ordine della parità dei
cateti: la dimostrazione con l’ordine invertito è analoga, prendendo come
punto di partenza il vettore (4, 3, 5).
La dimostrazione si effettua per induzione:
- ipotesi induttiva: ∀c ≤ n, se (a, b, c) ∈ P P T, allora (a, b, c) occupa un
nodo dell’albero;
- è vero per il passo base n = 5 e procediamo per induzione su n :
- sia c ≤ n + 1 : se non esiste una terna (a, b, n + 1) ∈ P P T, allora
l’ipotesi vale banalmente anche per n + 1.
Supponiamo invece che esista (a, b, c) ∈ P P T, con c = n + 1.
Definiamo
S(a, b, c) := (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) = (|−a−2b+2c|, |−2a−b−2c|, −2a−2b+3c).
Possiamo calcolare
S(a, b, c) = (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) ∈ P P T ; c ′′ < c; ⇒ c ′′ ≤ c − 1 = n.
Perciò, per ipotesi induttiva, (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) è presente sull’albero.
Per la costruzione dell’albero e per la definizione di S,
abbiamo che (a, b, c) è figlio di (a ′′ , b ′′ , c ′′ ),