Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 76
In particolare si verifica che l’applicazione
B : P P T → Q ∩ Q 2
B(a, b, c) = ( a b , c c )
definisce una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi.
{P P T } ↔ {Q ∩ Q 2 }
Torneremo in seguito sullo studio di questo insieme.
Passiamo adesso alla dimostrazione del teorema, dopo averlo enunciato
in modo formale e completo:
Teorema 3.1. (Barning, 1963)
Definiamo le matrici:
⎛
1 −2
⎞
2
⎛
1 2
⎞
2
⎛
−1 2
⎞
2
M1 = ⎝2
−1 2⎠
, M2 = ⎝2
1 2⎠
, M3 = ⎝−2
1 2⎠
.
2 −2 3
2 2 3
−2 2 3
Ogni terna pitagorica primitiva (a, b, c) con a dispari e b pari ha un’unica
rappresentazione come prodotto di matrici:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
a
3
⎝b⎠
= Md1Md2 . . . Mdn
⎝4⎠
c
5
per qualche n ≥ 0, (d1, d2, . . . , dn) ∈ {1, 2, 3} n .
Ogni terna pitagorica primitiva (a, b, c) con a pari e b dispari ha un’unica
rappresentazione come:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
a
4
⎝b⎠
= Md1Md2 . . . Mdn
⎝3⎠
c
5
per qualche n ≥ 0, (d1, d2, . . . , dn) ∈ {1, 2, 3} n .
Ogni terna (a, b, c) di una di queste due forme è una terna pitagorica
primitiva.
Dimostrazione. Si verifica che le matrici portano terne pitagoriche primitive
in terne pitagoriche primitive, mantenendo l’ordine della parità.
Dimostriamo viceversa che ogni terna pitagorica primitiva ha questa forma.