Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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Capitolo 4 Ideazioni di approfondimenti didattici 4.1 Coppie pitagoriche Definizione 4.1. (m, n) ∈ Z 2 si dice coppia pitagorica se: • m > n > 0 • (m, n) = 1 • m, n di diversa parità L’insieme delle terne pitagoriche primitive (non ordinate) è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle coppie pitagoriche: (m, n) ↔ (m 2 − n 2 , 2mn, m 2 + n 2 ). Il teorema di Barning è stato ritrovato attraverso ragionamenti sulle coppie pitagoriche, come in [2], [9]. Sia (M, N) una coppia pitagorica: ci sono tre possibilità: - N < M < 2N : def: m = N, n = 2N − M - 2N < M < 3N : def: m = N, n = M − 2N - 3N < M : def: m = M − 2N, n = N In ogni caso, (m, n) è ancora una coppia pitagorica, con m < M, n < N. Si considerano le trasformazioni inverse, si costruisce il grafo e si dimostra per induzione che ogni coppia pitagorica compare una sola volta. 90
CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 91 Figura 4.1: Grafo delle coppie pitagoriche I cammini su questo grafo sono determinati da passi corrispondenti alle trasformazioni relative alle coppie pitagoriche; anche per le sequenze di coppie si osservano interessanti proprietà. Consideriamo ad esempio la composizione delle trasformazioni 1 e 2 alternate in successione: con entrambe le scelte dell’ordine, cominciando dalla radice, otteniamo successioni di coppie composte tutte da termini della successione di Fibonacci. (2, 1) 2 → (5, 2) 1 → (8, 5) 2 → . . . (2, 1) 1 → (3, 2) 2 → (8, 3) 1 → . . . Per mostrare questo risultato, ragioniamo sulle due possibili trasformazioni composte determinate dall’ordine: cominciamo dal primo caso: (m, n) 2 → (2m + n, m) 1 → (3m + 2n, 2m + n)
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
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Introduzione Questo lavoro di tesi
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Capitolo 1 Lezioni 1.1 Introduzione
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CAPITOLO 1. LEZIONI 3 • 3 ore di
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