Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 104 Abbiamo visto che, se le coordinate del centro O = (a, b) sono linearmente indipendenti sui razionali, allora la circonferenza può contenere al più un punto di coordinate razionali. Sempre nel caso di coordinate del centro O = (a, b) linearmente indipendenti sui razionali, ci sono anche esempi di circonferenze con nessun punto in Q 2 . Esempio 4.1. L’insieme P CR relativo alla circonferenza di centro O = ( √ 3, √ 2), passante per A = ( √ 2, − √ 3), è uguale all’insieme vuoto. (x − √ 3) 2 + (y − √ 2) 2 − (( √ 2 − √ 3) 2 + (− √ 3 − √ 2) 2 ) = 0 x 2 + y 2 − 2 √ 3x − 2 √ 2y = 5 Se (x, y) ∈ Q 2 , non può soddisfare l’equazione: infatti avremmo l’assurdo: ⇒ n √ 2 + m √ 3 = p, n, m, p ∈ Q. Quindi, per ogni (x, y) appartenente a questa circonferenza, (x, y) /∈ Q 2 . Studiamo adesso le circonferenze di centro O = (a, b) ∈ Q 2 : come abbiamo notato precedentemente, ci possiamo ricondurre allo studio della circonferenza dello stesso raggio centrata nell’origine. Proposizione 4.5. Sia C una circonferenza di centro O = (a, b) ∈ Q 2 e raggio R e sia C ′ la circonferenza con lo stesso raggio R ma centrata nell’origine. Allora |P CR(C)| = |P CR(C ′ )|.
CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 105 Studiamo per esempio la circonferenza C2, con centro di questo tipo e raggio R = √ 2. Figura 4.4: A, B, C, D ∈ P CR(C2) ⇒ |P CR(C2)| ≥ 4. Ma ci saranno altri punti in P CR(C2)? Sì, possiamo trovare altri P = (a, b) ∈ P CR(C2) attraverso le rotazioni di angoli θ tali che (cos(θ), sen(θ)) ∈ Q2 . a b cos(θ) −sen(θ) 1 = . sen(θ) cos(θ) 1 Proposizione 4.6. P CR(C2) è denso in C2! Si può arrivare a questo risultato seguendo un altro procedimento elementare, descritto da [8]. In generale: Proposizione 4.7. Se una circonferenza Ck di centro l’origine (o a coordinate razionali) contiene almeno un punto a coordinate razionali, allora P CR(Ck) è denso in Ck. Osserviamo che, se una circonferenza centrata nell’origine ha raggio R, allora contiene il punto P = (0, R). Vale quindi:
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
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Introduzione Questo lavoro di tesi
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Capitolo 1 Lezioni 1.1 Introduzione
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Capitolo 2 Relazione sulle verifich
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