Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 101
Osservazione 4.3.
⇒ n
m
= tg
(x, y) ∈ Q ∩ Q 2 ⇔ tg
α
.
2
α
∈ Q.
2
4.4 Punti a coordinate razionali
su circonferenze
Alcuni risultati trovati riguardo alle terne pitagoriche possono introdurre
allo studio del numero di punti a coordinate entrambe razionali appartenenti
a particolari circonferenze. Sia C una circonferenza: definiamo l’insieme
P CR(C) :
Definizione 4.4.
P CR(C) := {(x, y) ∈ C : (x, y) ∈ Q 2 }
Cominciamo questa analisi sulla circonferenza unitaria centrata nell’orgine,
che chiamiamo C0.
C0 = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1}
Per i risultati appena trovati, possiamo affermare che:
Proposizione 4.1. P CR(C0) è denso in C0!
Analizziamo adesso gli insiemi P CR relativi ad altre circonferenze, facendo
variare prima il centro e successivamente il raggio.
Consideriamo C1 circonferenza di raggio 1 e con centro di coordinate
entrambe razionali: in questo caso i punti di C1 sono traslazioni razionali dei
punti di C0.
Proposizione 4.2. P CR(C1) è denso in C1!
In generale, per studiare la cardinalità dell’insieme P CR di una circonferenza
di raggio R e centro a coordinate razionali, basta ricondursi alla
circonferenza di raggio R centrata nell’origine. Poniamoci nel caso quindi in
cui la circonferenza abbia il centro con almeno una coordinata irrazionale.
- Esiste una circonferenza con questo centro che contiene almeno un punto
a coordinate razionali (basta sceglierlo come punto di passaggio,
fissato il centro).
- Esiste una circonferenza di questo tipo con due punti a coordinate
razionali, ma solo sotto certe ipotesi...