Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 2. RELAZIONE SULLE VERIFICHE 61
scrivere in italiano quello che già mi aveva detto. Questo tipo di insicurezza è
confermata da diffuse risposte prolisse, analoghe a quelle osservate per l’altra
classe. Questi problemi sono sicuramente indice di una scarsa abitudine ad
affrontare problemi teorici. I ragazzi sono molto legati infatti al formalismo
dei procedimenti meccanici, ma hanno mostrato comunque di avere buone
capacità di approcciarsi al ragionamento teorico e ne sono sembrati anche
piuttosto interessati.
Esercizio 5 (fila A):
Soluzione
Per lo studio della parità delle terne pitagoriche primitive effettuato a lezione,
b + 1 è dispari: allora b è pari. Sempre per la parità delle terne quindi a è
dispari.
Dato un qualsiasi a intero dispari, a ≥ 3, possiamo seguire il metodo della
somma dei dispari e riusciamo a trovare sempre una terna che lo contenga.
Dato un qualsiasi b intero pari, b ≥ 4, esso fa sempre parte di una terna
pitagorica. Infatti: poniamo b = 2k. Basta verificare che si possono sempre
determinare due interi positivi m ed n , tali che m > n e b = 2mn. Una
volta che questo sia possibile, la terna che contiene b è trovata:
(m 2 − n 2 , 2mn, m 2 + n 2 ).
Scegliamo m = k, n = 1.
m ed n sono interi positivi, b = 2k = 2mn e m > n, infatti:
2k ≥ 4, m = k ≥ 2 > 1 = n.
Bastano queste condizioni su m ed n per trovare la terna pitagorica
cercata.
Essa però in generale non è detto che risulti sempre primitiva: sicuramente
MCD(m, n) = 1, ma m ed n potrebbero essere entrambi dispari. Se
invece k è pari la terna è primitiva.
Riflessioni
Alla prima domanda hanno risposto tutti correttamente: molti hanno risposto
facendo osservazioni, tutte ben motivate, sulla parità delle terne primitive;
altri hanno dato una dimostrazione algebrica al fatto che a è dispari:
a 2 + b 2 = (b + 1) 2 , a 2 = 2b + 1.