Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 2. RELAZIONE SULLE VERIFICHE 63
La confusione qui potrebbe essere derivata dalla seconda terna, in cui
troviamo tutti i pari fino a 10.
Esempio 2.21. La terna si trova solo con a multiplo di 4. Può essere sia
primitiva sia derivata. Per esempio:
a = 20, (21, 20, 29), (3, 4, 5) · 5 = (15, 20, 25).
Questa è stata la risposta più soddisfacente: sebbene essa si restringa
al caso dei multipli di 4, viene qui compreso il senso dell’esercizio. Viene
mostrato solo un esempio, il quale però suggerisce come, dato un multiplo di
4, si possa trovare in generale una terna, multiplo di (3, 4, 5), che lo contenga.
Si osserva inoltre che si trova anche una terna primitiva con questa proprietà,
ma in questo caso non viene accennato un metodo per trovarla, che possa
essere generalizzato.
Esercizio 5 (fila B):
Soluzione
Poiché b è l’unico intero pari della terna pitagorica primitiva (a, b, c), sappiamo
che esistono m ed n con certe proprietà tali che b = 2mn. Dato che la
terna è primitiva, uno tra m ed n è pari, quindi il prodotto m · n è pari.
mn = 2k, b = 2mn = 4k.
Dato viceversa un qualsiasi intero b = 4h, esso è contenuto in una terna
pitagorica: per determinarla possiamo equivalentemente determinare due
interi m ed n tali che 0 < n < m e b = 2mn. Scegliamo
m = 2h, n = 1 ( 2h > 1, b = 4h = 2mn ).
Inoltre la terna che otteniamo in questo modo sarà sempre primitiva,
poiché m è pari, n è dispari e MCD(m, n) = 1.
Le terne pitagoriche primitive (a, b, c), trovate con questa scelta per m ed
n, hanno le proprietà che a e c sono due dispari consecutivi: infatti
Riflessioni
c − a = m 2 + n 2 − (m 2 − n 2 ) = 2.
L’esercizio è stato risolto interamente da uno studente, il quale lo ha presentato
alla classe durante la correzione. Il metodo seguito è stato quello che
era stato pensato nella preparazione dell’esercizio.