Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 95
Nel caso del nostro esempio:
λ − 1 = (3 + 2 √ 2) − 1 = 2 · (1 + √ 2) = 4, 8284 . . .
è proprio il valore su cui si stabilizzano (velocemente) le differenze relative!
Lo stesso ragionamento si può ripetere per la sequenza ottenuta seguendo
solo passi in alto sul grafo, iterando cioè la trasformazione relativa alla
matrice M1.
(3, 4, 5) M1
M1
M1
M1
→ (5, 12, 13) → (7, 24, 25) → (9, 40, 41) → . . .
Consideriamo questo caso, cominciando questa volta dal punto di vista
geometrico. Sappiamo che i triangoli si avvicinano al triangolo degenere di
lati (0, 1, 1).
⎛
1 −2
⎞ ⎛ ⎞
2 0
⎛ ⎞
0
⎝2
−1 2⎠
⎝1⎠
= 1 ⎝1⎠
.
2 −2 3 1 1
In effetti questo è proprio un autovettore della matrice, relativo all’autovalore
λ = 1.
Possiamo quindi già affermare che le differenze relative tenderanno al
valore d = λ − 1 = 0.
cn+1 − cn
cn
Infatti, calcolando i primi termini:
13 − 5
5
= 1, 6;
25 − 13
13
→ 0.
= 0, 923;
Analogamente per la matrice M3 vale:
⎛
−1 2
⎞ ⎛ ⎞
2 1
⎛ ⎞
1
⎝−2
1 2⎠
⎝0⎠
= 1 ⎝0⎠
−2 2 3 1 1
41 − 25
25
= 0, 64 . . .
(3, 4, 5) M3
M3
M3
M3
→ (15, 8, 17) → (35, 12, 37) → (63, 16, 65) → . . .
17 − 5
= 2, 4;
5
Infatti:
37 − 17
17
= 1, 176;
65 − 37
37
= 0, 756 . . .