Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 88 Sia infine (dk)k∈N che non termina con una successione infinita di 1 o di 3 e vediamo come si dimostra il terzo punto. Fissato n ∈ N, definiamo l’insieme dei punti che hanno le prime n cifre del loro sviluppo coincidenti con le prime n cifre di questa sequenza: An := {t ∈ (0, 1) : G k (t) ∈ Idk , ∀k : 1 ≤ k ≤ n}. Per compattezza, si dimostra che n∈N An contiene almeno un punto; ma diam(An) → 0, ⇒ An = {t0}. n∈N Quindi esiste un unico punto (x, y) ∈ Q che ha questo sviluppo. Esempi di sviluppi di punti (x, y) ∈ Q Sono riportati di seguito alcuni esempi di sviluppi di punti (x, y) ∈ Q, secondo la definizione data. Viene seguita la notazione: (x, y) = [d1, d2, . . .] Inoltre è stato specificato l’angolo normalizzato t corrispondente. • 3 5 • 4 5 • 5 13 • 21 29 4 2 , = [oe] t = 5 π arctan 4 3 , 3 5 2 = [eo] t = π arctan 3 4 , 12 13 , 20 29 • 15 8 , 17 17 • 7 25 • 65 97 • • • , 24 25 , 72 97 √ 2 2 , √ 2 2 1 2 , √ 3 2 √ 3 2 , 1 2 2 = [1, oe] t = π arctan 12 5 2 = [2, oe] t = π arctan 20 21 = [3, oe] t = 2 π arctan 8 15 2 = [1, 1, oe] t = π arctan 24 7 2 = [2, 3, oe] t = π arctan 72 65 = [2, 2, 2, 2, . . .] t = 1 2 = [1, 3, 1, 3, . . .] t = 2 3 = [3, 1, 3, 1, . . .] t = 1 3
CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 89 • • • • √5 1 , 2 √ = [1, 2, 1, 2, . . .] t = 5 2 arctan (2) π √ 5 3 2 3 , √ 5 3 2 √5 , 1 √ 5 2 , 3 = [2, 1, 2, 1, . . .] t = 2 π arctan = [2, 3, 2, 3, . . .] t = 2 π arctan √5 2 √ 5 2 = [3, 2, 3, 2, . . .] t = 2 π arctan 1 2 Possiamo osservare l’analogia con le terne pitagoriche corrispondenti e con i limiti di determinate successioni di triangoli.
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
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Introduzione Questo lavoro di tesi
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