Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 26
Quindi la regola generale conferma la nostra osservazione.
Ripetendo analogamente i conti per la trasformazione 2, otteniamo:
e per la terza:
(m ′ , n ′ ) = (2m + n, m)
(m ′ , n ′ ) = (m + 2n, n).
- Applicando M1 : (m ′ , n ′ ) = (2m − n, m),
- Applicando M2 : (m ′ , n ′ ) = (2m + n, m),
- Applicando M3 : (m ′ , n ′ ) = (m + 2n, n).
Esercizio 1. Dimostrare che ogni terna dello schema è primitiva utilizzando
questo risultato ( (3, 4, 5) è primitiva e se (m, n) = 1, m > n > 0 e m, n
sono di diversa parità, anche le tre coppie (m ′ , n ′ ), relative alle tre terne
trasformate, hanno le stesse proprietà).
Con l’ausilio di questa ‘regola di passaggio da una coppia all’altra’, è più
semplice continuare a tracciare lo schema delle coppie generatrici delle terne
primitive (scrivere per esercizio alcuni ‘passi’ successivi).
Possiamo tracciare una sequenza in cui tutti i numeri delle coppie siano
numeri di Fibonacci.
Definizione 1.5. I numeri di Fibonacci sono tutti i numeri che appartengono
alla successione f1, f2, . . . , fn, . . . definita così:
f1 = 1, f2 = 1,
fn+2 = fn + fn+1.
Questo significa che i primi due termini sono f1 = f2 = 1
ed in generale un termine della successione è dato dalla somma dei due
precedenti. Per esempio: f3 = 1+1 = 2, f4 = 1+2 = 3, f5 = 3+2 = 5, . . .
Qual è la successione che dobbiamo seguire sullo schema affinché nelle
coppie troviamo solo numeri di Fibonacci?
Nella sequenza UAUA . . .: (2, 1) U → (3, 2) A → (8, 3) U → (13, 8) A → . . .
Nella sequenza AUAU . . .: (2, 1) A → (5, 2) U → (8, 5) A → (21, 8) U → . . .
Osservazione 1.1. Nei primi passi notiamo che ogni termine della successione
compare almeno una volta in almeno una delle due sequenze.
Si osserva inoltre che in alcuni casi le coppie sono composte da termini
consecutivi nella successione, come (3, 2), mentre negli altri casi esse sono
costituite da termini non consecutivi, ma con un solo termine che ‘li divide’,
come ad esempio (8, 3).