Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 2. RELAZIONE SULLE VERIFICHE 42 lezioni e nella preparazione al compito: il metodo da seguire è quello della somma dei dispari. Gli esercizi successivi sono stati diversificati per le due classi: in generale sono stati pensati esercizi più meccanici per la classe VA e più teorici per la classe ID. Per quanto riguarda l’ultimo esercizio, la tipologia è comune per le due classi, con qualche differenza. Alla classe VA è stato posto con una domanda aperta, sia per il maggiore tempo a disposizione, sia perché era stato analizzato con attenzione il caso analogo in classe. Alla ID sono state poste delle domande più specifiche; in classe era stato svolto interamente solo l’esercizio per l’approssimazione di √ 2 ed era stata appena accennata la sequenza con cui si approssima √ 3. Inoltre, poiché in ID il tempo a disposizione era poco più di un’ora, è stata data la possibilità di raggiungere il punteggio pieno a chi avesse completato, oltre ai primi quattro esercizi, due a scelta dei tre teorici. Compito in classe: V A (FILA A). Esercizio 1. (2 punti) Date le seguenti coppie di interi (m, n), determinare con la formula di Euclide la terna pitagorica corrispondente. Verificare in ogni caso se essa risulta primitiva o meno e, in caso non lo sia, specificare quale ipotesi viene a mancare. - m = 3, n = 1, - m = 4, n = 1, - m = 6, n = 4, - m = 9, n = 6. Esercizio 2. (1 punto) Determinare viceversa gli interi m ed n corrispondenti alle terne primitive (5, 12, 13) e (9, 40, 41). Esercizio 3. (1 punto) Partendo dalla terna (3, 4, 5), calcolare la terna che si ottiene applicando prima la trasformazione lineare M1 e successivamente la trasformazione M2. Verificare che otteniamo una terna primitiva. Esercizio 4. (1 punto) Trovare una terna pitagorica che contenga il numero 11. Esercizio 5. (1 punto) Esistono triangoli pitagorici (aventi come lunghezze dei lati una terna primitiva) in cui la misura del perimetro è uguale al doppio di quella dell’area? Se sì, trovarli tutti.
CAPITOLO 2. RELAZIONE SULLE VERIFICHE 43 Esercizio 6. (1 punto) Siano m ed n due interi tali che m > n > 0. Se scriviamo a = m 2 − n 2 , b = 2mn, c = m 2 + n 2 , otteniamo una terna pitagorica. La terna sarà sempre primitiva? Abbiamo visto che, se scegliamo m ed n consecutivi, la terna risulta tale che anche b e c sono consecutivi. Che relazione troviamo tra b e c se invece scegliamo m ed n tali che m − n = 3? In generale, data la differenza m − n, quanto vale c − b in funzione di essa? Esercizio 7. (1 punto) Analizzare la sequenza UDUD . . ., simile a quella che abbiamo già analizzato ma con il primo passo in alto. (3, 4, 5) U → (5, 12, 13) D → (45, 28, 53) U → (95, 168, 193) D → . . . Cercare una relazione tra le iterate in successione e dire se è possibile approssimare un numero irrazionale attraverso una particolare successione. Suggerimenti: osservare a che numero si avvicina progressivamente la successione dei rapporti tra l’ipotenusa ed il cateto minore. A che tipo di triangolo si avvicina la successione dei relativi triangoli pitagorici? Il triangolo a cui si avvicina la successione è pitagorico? Determinare il numero che sarà possibile approssimare e scegliere due successioni di rapporti che ce lo permettono. Compito in classe: V A (FILA B). Esercizio 1. (2 punti) Date le seguenti coppie di interi (m, n), determinare con la formula di Euclide la terna pitagorica corrispondente. Verificare in ogni caso se essa risulta primitiva o meno e, in caso non lo sia, specificare quale ipotesi viene a mancare. - m = 4, n = 2, - m = 5, n = 1, - m = 6, n = 1, - m = 6, n = 3. Esercizio 2. (1 punto) Determinare viceversa gli interi m ed n corrispondenti alle terne primitive (21, 20, 29) e (7, 24, 25).
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Bibliografia [1] Dan Romik, ‘The
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Ringraziamenti Grazie a tutti color
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