Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 77
Cominceremo con il considerare una particolare simmetria per l’equazione
a 2 + b 2 = c 2 ,
cioè una trasformazione che manda terne di interi soluzioni dell’equazione
in altre terne intere ancora soluzioni.
Definiamo l’insieme delle ‘terne pitagoriche primitive con segno’:
SP P T := {(a, b, c) ∈ Z 3 : (a, b) = 1, c > 0, a 2 + b 2 = c 2 }.
Le trasformazioni del tipo:
(a, b, c) → (ka, kb, kc), k ∈ Z
sono simmetrie per l’equazione. Possiamo quindi limitarci a considerare
le soluzioni con (a, b, c) = 1, che equivale alla condizione (a, b) = 1, e tali che
c > 0, cioè le terne appartenenti all’insieme SP P T , anziché a Z3 in generale.
Effettuando il seguente cambiamento di variabili troviamo una simmetria
non ovvia per l’equazione:
⎧
⎨
⎩
m = c − a
n = c − b
q = a + b − c
⎧
⎨ a = q + n
↔ b = q + m
⎩
c = q + m + n
Nelle nuove variabili (m, n, q) l’equazione diventa:
q 2 = 2mn.
La simmetria in queste coordinate è:
(m, n, q) → (m ′ , n ′ , q ′ ) = (m, n, −q).
Questa trasformazione nelle coordinate (a, b, c) è data da:
con ⎧ ⎨
⎩
(a, b, c) → (a ′ , b ′ , c ′ )
a ′ = q ′ + n ′ = n − q = −a − 2b + 2c
b ′ = q ′ + m ′ = m − q = −2a − b + 2c
c ′ = q ′ + m ′ + n ′ = m + n − q = −2a − 2b + 3c
In notazione matriciale:
⎛
a
⎝
′
b ′
c ′
⎞ ⎛
−1 −2
⎞ ⎛ ⎞
2 a
⎛ ⎞
a
⎠ = ⎝−2
−1 2⎠
⎝b⎠
=: I ⎝b⎠
.
−2 −2 3 c c