Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 78
Si dimostra che I 2 = Id3.
Si dimostra inoltre che, se (a, b) = 1, allora anche (a ′ , b ′ ) = 1.
Inoltre
c ′ = 3c − 2(a + b) ≥ 3c − 2 √ 2 √ a 2 + b 2 = (3 − 2 √ 2)c > 0.
Quindi I porta l’insieme SP P T in se stesso.
I fissa i vettori (1, 0, 1) e (0, 1, 1).
Dimostriamo adesso che I(P P T ) = SP P T \ (P P T ∪ {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}).
Questo significa che, se (a, b, c) ∈ P P T, allora almeno uno tra a ′ e b ′ è
negativo, o equivalentemente che 2c < max{a + 2b, 2a + b}.
Per convenzione assumiamo che a > b (il caso a < b si affronta analogamente).
Ci basta dimostrare quindi che 2c < 2a + b.
dove (x, y) =
2c < 2a + b ⇔ 2 < 2x + y,
a b , . c c
Con le notazioni precedenti, (x, y) ∈ Q ∩ {x > y}.
2 < 2x + y ⇔ 2
√ <
5 2x
√ +
5 y
2
√ = (x, y), √5 ,
5 1
√ .
5
Valutiamo il prodotto scalare negli estremi dell’arco Q ∩ {x > y} :
2
√ 5 =
Dato che anche il punto
2
√ 5 <
(1, 0),
2
√5 , 1
√ 5
,
2 1
√ < √2 ,
5 1
2
√ , √5 ,
2
1
√ .
5
(x, y),
√5 2 , 1
√
5
2
√5 , 1
√ 5
∈ Q ∩ {x > y}, per continuità:
, ∀(x, y) ∈ Q ∩ {x > y},
che è proprio quello che volevamo dimostrare.
Applicando quindi la trasformazione I non troviamo direttamente un’altra
terna pitagorica primitiva, ma possiamo modificare ulteriormente la terna
ottenuta in modo che rimanga soluzione dell’equazione. Definiamo:
(a ′′ , b ′′ , c ′′ ) := (|a ′ |, |b ′ |, c ′ ).