Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 86
Esistono tre possibili terne (a, b, c) ∈ P P T tali che S(a, b, c) = (a ′ , b ′ , c ′ ).
Per la prima parte del teorema, esistono solo tre possibili punti
tali che T (x, y) = (x ′ , y ′ );
(x, y) = a b , c c
questi possibili punti sono tutti a coordinate entrambe razionali.
Perciò, se (x, y) ∈ Q ha almeno una coordinata irrazionale, allora T (x, y)
non può avere entrambe le coordinate razionali.
Lo sviluppo di (x, y) è una sequenza finita se e solo se, per un certo n ∈ N,
che equivale alla condizione:
T n (x, y) ∈ Q \ Q = {(1, 0), (0, 1)},
T n−1 (x, y) ∈
3 4 4 3
, , , .
5 5 5 5
Poiché però abbiamo scelto (x, y) con almeno una coordinata irrazionale,
questo non può accadere per nessun valore di n: la trasformazione T può
essere applicata quindi un numero illimitato di volte, essendo sempre definita.
In questo caso quindi lo sviluppo è sempre una sequenza infinita.
Dimostriamo adesso che questa sequenza non può terminare con una successione
infinita di 3. Definiamo a questo scopo una funzione G che sia la
corrispondente di T dal punto di vista dell’angolo delle coordinate polari
, in cui può variare questo angolo, viene
dei punti su Q. L’intervallo 0, π
normalizzato a (0, 1).
Sia t ∈ (0, 1) :
Definiamo F (t) := cos πt
2
2
πt , sin ; 2
G : (0, 1) → [0, 1]
G := F −1 ◦ T ◦ F
(0, 1) è suddiviso in tre zone, I1, I2, I3, corrispondenti a quelle in cui è
suddiviso Q, nella definizione di d.
I3 =
0, 2
π arctan
3
2
; I2 =
4
π arctan
I1 =
È immediato verificare che:
2
π arctan
4
, 1 .
3
3
,
4
2
π arctan
4
;
3