Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 88
Sia infine (dk)k∈N che non termina con una successione infinita di 1 o di
3 e vediamo come si dimostra il terzo punto.
Fissato n ∈ N, definiamo l’insieme dei punti che hanno le prime n cifre
del loro sviluppo coincidenti con le prime n cifre di questa sequenza:
An := {t ∈ (0, 1) : G k (t) ∈ Idk , ∀k : 1 ≤ k ≤ n}.
Per compattezza, si dimostra che
n∈N An contiene almeno un punto; ma
diam(An) → 0,
⇒
An = {t0}.
n∈N
Quindi esiste un unico punto (x, y) ∈ Q che ha questo sviluppo.
Esempi di sviluppi di punti (x, y) ∈ Q
Sono riportati di seguito alcuni esempi di sviluppi di punti (x, y) ∈ Q, secondo
la definizione data. Viene seguita la notazione:
(x, y) = [d1, d2, . . .]
Inoltre è stato specificato l’angolo normalizzato t corrispondente.
• 3
5
• 4
5
• 5
13
• 21
29
4
2
, = [oe] t = 5
π arctan
4
3
, 3
5
2
= [eo] t = π arctan 3
4
, 12
13
, 20
29
• 15 8 , 17 17
• 7
25
• 65
97
•
•
•
, 24
25
, 72
97
√
2
2 , √ 2
2
1
2 , √
3
2
√ 3
2
, 1
2
2
= [1, oe] t = π arctan 12
5
2
= [2, oe] t = π arctan 20
21
= [3, oe] t = 2
π arctan 8
15
2
= [1, 1, oe] t = π arctan 24
7
2
= [2, 3, oe] t = π arctan 72
65
= [2, 2, 2, 2, . . .] t = 1
2
= [1, 3, 1, 3, . . .] t = 2
3
= [3, 1, 3, 1, . . .] t = 1
3