Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 80 - Se (a ′ , b ′ , c ′ ) = (|a ′ |, −|b ′ |, c ′ ) = (a ′′ , −b ′′ , c ′′ ), ⎛ ⎞ ⎛ a a ⎝b⎠ = M3 ⎝ c ′′ b ′′ c ′′ ⎞ ⎠ . Come abbiamo visto, l’enunciato del teorema è ben descritto ponendo le terne pitagoriche primitive (a, b, c) con a dispari e b pari nei nodi di un albero infinito ternario, in cui la radice è la terna ’di base’ (3, 4, 5) ed ogni terna (a, b, c) ha tre figli, che rappresentano la moltiplicazione della terna (considerata come un vettore colonna) per le tre matrici M1, M2, M3. In questi termini, per adesso possiamo affermare che in ogni nodo dell’albero c’è una terna pitagorica primitiva, con la terza coordinata strettamente maggiore di quella del suo genitore (in realtà si verifica che tutte e tre le coordinate sono maggiori). Dimostriamo adesso che, comunque scegliamo una terna pitagorica primitiva (a, b, c) con a dispari e b pari, essa è presente in questo albero. Abbiamo fissato in questo modo per convenzione l’ordine della parità dei cateti: la dimostrazione con l’ordine invertito è analoga, prendendo come punto di partenza il vettore (4, 3, 5). La dimostrazione si effettua per induzione: - ipotesi induttiva: ∀c ≤ n, se (a, b, c) ∈ P P T, allora (a, b, c) occupa un nodo dell’albero; - è vero per il passo base n = 5 e procediamo per induzione su n : - sia c ≤ n + 1 : se non esiste una terna (a, b, n + 1) ∈ P P T, allora l’ipotesi vale banalmente anche per n + 1. Supponiamo invece che esista (a, b, c) ∈ P P T, con c = n + 1. Definiamo S(a, b, c) := (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) = (|−a−2b+2c|, |−2a−b−2c|, −2a−2b+3c). Possiamo calcolare S(a, b, c) = (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) ∈ P P T ; c ′′ < c; ⇒ c ′′ ≤ c − 1 = n. Perciò, per ipotesi induttiva, (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) è presente sull’albero. Per la costruzione dell’albero e per la definizione di S, abbiamo che (a, b, c) è figlio di (a ′′ , b ′′ , c ′′ ),
CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 81 - quindi anche (a, b, c) è presente sull’albero: l’ipotesi vale anche per n + 1. Per il fatto che ad ogni passo i segni di (a ′ , b ′ , c ′ ) sono univocamente determinati, abbiamo anche l’unicità. Il teorema è provato. Vediamo adesso la formalizzazione di alcune proprietà delle tre matrici, che sono state enunciate durante l’osservazione di alcune particolari sequenze di terne. Per la trasformazione M1 vale sempre: M1 ⎛ a ⎞ ⎛ ⎝ b b + k ⎠ = ⎝ a ′ b ′ b ′ + k ⎞ ⎛ a ⎞ ⎠ , ∀ ⎝ b ⎠ ∈ R b + k 3 . Considerando quindi come vettore di partenza (3, 4, 5) ed iterando la trasformazione: (3, 4, 5) M1 M1 M1 M1 → (5, 12, 13) → (7, 24, 25) → (9, 40, 41) → . . . ck − bk = 1 ∀k, Per la trasformazione M2 vale: ⎛ ⎞ ⎛ a M2 ⎝a + k⎠ = ⎝ c bk ck a ′ a ′ − k c ′ → 1. (3, 4, 5) M2 M2 M2 M2 → (21, 20, 29) → (119, 120, 169) → (697, 696, 985) → . . . |ak − bk| = 1 ∀k, ak La trasformazione M3 è tale che: ⎛ a ⎞ ⎛ M3 ⎝ b a + k ⎠ = ⎝ bk → 1, a ′ b ′ a ′ + k ⎞ ⎠ ck ak ⎞ ⎠ → √ 2. (3, 4, 5) M3 M3 M3 M3 → (15, 8, 17) → (35, 12, 37) → (63, 16, 65) → . . . ck − ak = 2 ∀k, ak ck → 1.
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