Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 9
4 2 = 3 2 + 4 2 − 3 2 = 1 + 3 + 5 + 7,
. . .
L’n-esimo numero quadrato sarà la somma dei primi n numeri dispari.
La differenza del quadrato di un intero e del quadrato di quello precedente
è
n 2 − (n − 1) 2 = 2n − 1
ma questa è anche uguale alla somma dei primi n dispari meno la somma
dei primi (n − 1) dispari: questo significa che (2n − 1) è proprio l’n-esimo
numero dispari.
Quindi il quadrato dell’intero n sarà uguale alla somma dei dispari fino a
(2n − 1):
n 2 = 1 + 3 + . . . + (2n − 1).
Viceversa, se abbiamo la somma dei dispari fino ad un certo dispari M :
1 + 3 + . . . + M
questa sarà uguale al quadrato di un intero n: ma come determiniamo
qual è il giusto n?
n deve essere tale che
n 2 = 1 + 3 + . . . + M,
quindi 2n − 1 = M, cioè n = M+1
2 :
abbiamo determinato la formula inversa.
Proposizione 1.2. Sia M ∈ N, M dispari,
M + 1
2
2
= 1 + 3 + . . . + M.
Questa proposizione ci fornisce un metodo per trovare alcuni esempi di
terne pitagoriche.
Iniziamo il nostro ragionamento considerando un quadrato perfetto dispari
(basta prendere il quadrato di un intero dispari).
Prendiamo ad esempio 9 = 3 2 .
La somma dei primi dispari che include 9:
(1 + 3 + 5 + 7 + 9)