Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 14
1.3 Lezione 2
(1 ora)
Nella lezione precedente abbiamo cercato triangoli e terne pitagoriche, anche
con determinate proprietà fissate. Abbiamo poi elaborato alcune osservazioni
sugli esempi, che ci hanno suggerito l’introduzione della definizione di terne
primitive e la verifica in generale di una condizione soddisfatta da esse.
Ci stiamo avvicinando, come hanno fatto nel corso della storia coloro che
si sono dedicati a questo tipo di ricerca, ad una generalizzazione. I matematici
si sono interessati al problema di trovare tutte le terne pitagoriche fin dalla
civiltà dei Babilonesi, i quali riuscirono anche a trovare già un metodo sistematico
per produrle; non sappiamo se siano arrivati o meno al metodo completo
di cui siamo a conoscenza oggi, ma sono state trovate delle tavole in cui
erano riportate 15 terne, anche molto grandi, tra cui (12709, 13500, 18541).
Anche altre civiltà hanno studiato il problema, come ad esempio quella della
Cina e dell’India. Nell’antica Scuola Greca i Pitagorici hanno potuto correlare
il problema alla geometria attraverso il teorema di Pitagora. Proprio
ai Pitagorici sono stati attribuiti importanti risultati, come la formula che
mostra come sono generate le terne pitagoriche in cui il cateto maggiore e
l’ipotenusa differiscono di 1.
La prima formula che dà una classificazione completa di tutte le terne
pitagoriche primitive appare negli ‘Elementi’ di Euclide:
Teorema 1.1. (Euclide, 300 a. C.)
Dati due interi (m, n) di diversa parità; 0 < n < m; MCD(m, n) = 1,
⇒ a = m 2 − n 2 , b = 2mn, c = m 2 + n 2
è una terna pitagorica primitiva.
Viceversa, data una qualsiasi terna pitagorica primitiva (a, b, c), con a
dispari e b pari, esistono (m, n) con queste proprietà tali che la terna si
possa scrivere in questa forma.
Dimostrazione. Cominciamo con una verifica: dimostriamo che, comunque
scegliamo due numeri interi fissando solo l’ipotesi 0 < n < m, se scriviamo
a, b, c come nell’enunciato, otteniamo effettivamente una terna pitagorica:
(m 2 −n 2 ) 2 +(2mn) 2 = m 4 −2m 2 n 2 +n 4 +4m 2 n 2 = m 4 +2m 2 n 2 +n 4 = (m 2 +n 2 ) 2 .
Si dimostra inoltre che se li prendiamo tali che soddisfino le altre due proprietà
enunciate, allora la terna risulta essere primitiva.