Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 17
Esempio 1.4.
⎛
1 2
⎞
2
⎛ ⎞
3
⎛
⎞
1 · 3 + 2 · 4 + 2 · 5
⎛ ⎞
21
⎝2
1 2⎠
· ⎝4⎠
= ⎝2
· 3 + 1 · 4 + 2 · 5⎠
= ⎝20⎠
.
2 2 3 5 2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 29
Abbiamo ottenuto un’altra terna pitagorica primitiva.
Provando invece a considerare la matrice M1:
Esempio 1.5.
⎛
1 −2
⎞
2
⎛ ⎞
3
⎛
⎞
1 · 3 − 2 · 4 + 2 · 5
⎛ ⎞
5
⎝2
−1 2⎠
· ⎝4⎠
= ⎝2
· 3 − 1 · 4 + 2 · 5⎠
= ⎝12⎠
.
2 −2 3 5 2 · 3 − 2 · 4 + 3 · 5 13
Anche in questo caso otteniamo un’altra terna primitiva.
Moltiplicare questa matrice per un generico vettore (a, b, c) equivale ad
applicare al vettore una trasformazione lineare di questo tipo:
⎧
⎨
⎩
1 · a − 2 · b + 2 · c = a ′
2 · a − 1 · b + 2 · c = b ′
2 · a − 2 · b + 3 · c = c ′
per ottenere la terna trasformata (a ′ , b ′ , c ′ ), che è uguale al risultato della
moltiplicazione della matrice per il vettore di partenza.
In generale un’applicazione lineare (in questo caso tridimensionale) è una
funzione che, applicata ad una terna (a, b, c), dà come risultato un’altra terna
(a ′ , b ′ , c ′ ) in cui a ′ , b ′ , c ′ sono ognuno una combinazione lineare di a, b, c.
La matrice associata all’applicazione, che è sempre di questa forma, definisce
i coefficienti giusti per una certa applicazione lineare.
Nel nostro caso, applicando alla terna (3, 4, 5) una delle tre trasformazioni
associate alle matrici, otteniamo sempre un’altra terna primitiva. Una volta
che abbiamo ottenuto questa nuova terna, possiamo applicare nuovamente
una delle tre trasformazioni e troveremo ancora un’altra terna primitiva e
così via.
Inoltre, se scegliamo una generica terna pitagorica primitiva, questa sarà
sempre ottenibile, applicando una certa composizione delle tre trasformazioni
alla terna (3, 4, 5).
Enunciamo questo risultato in modo formale: