Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 82 Consideriamo anche le due trasformazioni composte M1,3, M3,1 definite come segue: M1,3 ⎛ a ⎞ ⎛ ⎝ b 2a + k ⎠ = ⎝ M1,3 := M1 · M3 = M3,1 := M3 · M1 = a ′ b ′ 2a ′ + k ⎛ −1 4 ⎞ 4 ⎝−4 7 8⎠ −4 8 9 ⎛ 7 −4 ⎞ 8 ⎝4 −1 4⎠ 8 −4 9 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ ⎠ ; M3,1 ⎝ b 2b + k ⎠ = ⎝ a ′ b ′ 2b ′ + k (3, 4, 5) M3 M1 → (15, 8, 17) → (a3, b3, 2a3 − 1) M3 → (a4, b4, 2b4 + 1) M1 → . . . (3, 4, 5) M1 M3 → (5, 12, 13) → (a3, b3, 2b3 − 3) M1 → (a4, b4, 2a4 + 3) M3 → . . . In entrambi i casi resta fissa la differenza tra l’ipotenusa ed il doppio del cateto minore: ip ip. − 2c.min = k, → 2. c.min I triangoli associati tendono perciò alla metà del triangolo equilatero. 3.2 Sviluppi di punti Presenteremo a seguire un ulteriore interessante risultato, basato sull’osservazione di una trasformazione definita sull’arco Q, in modo che, ristretta ai punti a coordinate razionali, sia la corrispondente della trasformazione S per le terne associate. Soffermiamoci però prima sull’osservazione di un ulteriore insieme in corrispondenza biunivoca con P P T. Se fissiamo una terna primitiva (a, b, c), con a dispari e b pari, questa occuperà una precisa posizione sull’albero: esiste un solo cammino che, tornando indietro da questo nodo, raggiunge la radice (3, 4, 5) attraverso passi ⎞ ⎠ .
CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 83 di tipo 1, 2, 3 (riferendoci alla trasformazione corrispondente). Viceversa, data una certa sequenza di passi di questo tipo, determiniamo univocamente la terna. Pensiamo quindi la sequenza (d1, d2, . . . , dn) come uno ‘SVILUPPO’ corrispondente alla terna (a, b, c) sull’alfabeto ternario {1, 2, 3}. Per distinguere il diverso ordine della parità, aggiungiamo allo sviluppo una cifra finale dn+1, che può assumere i valori oe (a dispari e b pari) oppure eo (a pari, b dispari). Lo sviluppo è definito quindi con l’ordine dei pedici delle matrici. Se volessimo l’ordine di moltiplicazione per le matrici, cominciando da (3, 4, 5), dovremmo considerare l’ordine inverso. Abbiamo così la corrispondenza biunivoca: ∞ (a, b, c) ∈ P P T ↔ (d1, d2, . . . , dn+1) ∈ {1, 2, 3} n × {oe, eo} Definiremo quindi una trasformazione su Q, estesa anche a punti con coordinate irrazionali, la quale definisce uno sviluppo di un punto, che per i punti razionali coincide con quello della terna corrispondente. n=0 Teorema 3.2. (Romik, 2008) Sia Q = {(x, y) : x > 0, y > 0, x 2 + y 2 = 1}. Definiamo la trasformazione T : Q → Q così: | − x − 2y + 2| | − 2x − y + 2| T (x, y) = , . −2x − 2y + 3 −2x − 2y + 3 Definiamo poi un’altra applicazione d : Q → {1, 2, 3, oe, eo} come segue: ⎧ 1, x y < 3 4 , ⎪⎨ 3 x 4 2, < < 4 y 3 d(x, y) = ⎪⎩ , 4 x 3, < 3 y , oe, (x, y) = 3 4 , , 5 5 eo, (x, y) = 4 3 , . 5 5 Iterando la trasformazione, fino a che eventualmente venga ottenuto il punto (0, 1) o (0, 1), al passo n-esimo associamo la cifra corrispondente al punto trovato, definendo in questo modo lo sviluppo del punto di partenza. 1- Se (x, y) = a b 2 a b , ∈ Q ∩ Q , con , ridotti ai minimi termini (cioè c c c c (a, b, c) ∈ P P T ), allora per qualche n ≥ 0, l’iterata (n + 1)-esima di T , T n+1 (x, y), sarà uguale a (1, 0) oppure a (0, 1) e, se definiamo dk = d(T k−1 (x, y)), k = 1, 2, ..., n + 1
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