Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 4. IDEAZIONI DI APPROFONDIMENTI DIDATTICI 106
Proposizione 4.8. Se CR ha centro a coordinate razionali e raggio R ∈ Q,
allora P CR(CR) è denso in CR.
Sia
e supponiamo
Quindi:
(x, y) :=
C3 := {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 3}
a b
, ; a, b, c ∈ Z; (a, c) = (b, c) = 1.
c c
a 2 + b 2 = 3c 2 .
Ci sono tre possibilità per a (e analogamente per b):
- a ≡ 0 mod 3 ⇒ a 2 ≡ 0 mod 3
- a ≡ 1 mod 3 ⇒ a 2 ≡ 1mod 3
- a ≡ 2 mod 3 ⇒ a 2 ≡ 1 mod 3
Poiché vale l’uguaglianza, ⇒ a ≡ b ≡ 0 mod 3, quindi:
a 2 ≡ b 2 ≡ 0 mod 9 ⇒ a 2 + b 2 ≡ 3c 2 ≡ 0 mod 9
c 2 ≡ 0 mod 3 ⇒ c 2 ≡ 0 mod 9
a ≡ b ≡ c mod 3 ⇒ (a, c), (b, c) = 1
che è assurdo perché avevamo preso le frazioni ridotte ai minimi termini.
Proposizione 4.9. C3 non contiene punti a coordinate entrambe razionali.
Sia C5 := {x 2 + y 2 = 5}; (2, 1) ∈ C5.
Proposizione 4.10. P CR(C5) è denso in C5.
...e così via...