Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 11
Proviamo questa volta a sommare un certo numero di dispari, fermandoci
ad un certo intero, e sommare poi ulteriormente gli stessi dispari più il dispari
successivo: in questo modo abbiamo ottenuto la somma dei quadrati di due
numeri consecutivi. Come facciamo a verificare se questi possono fare parte
di una terna pitagorica? Se la somma ottenuta è un quadrato perfetto (si
può semplicemente controllare se la radice quadrata sia un intero o meno)
possiamo affermare di aver trovato una terna pitagorica, altrimenti proviamo
con altri numeri, aumentando sempre le dimensioni. Per svolgere tutti i
calcoli coinvolti utilizzeremo un foglio elettronico. Nel caso che abbiamo
appena considerato (relativo alla ricerca di terne con a, b interi consecutivi),
non è stato necessario utilizzare i risultati precedenti: potevamo calcolare
equivalentemente quadrati di interi consecutivi in successione e verificare se
la loro somma fosse o meno un quadrato perfetto. Vediamo però che questo
metodo è abbastanza pratico per l’utilizzo del foglio elettronico.
Estendiamo la ricerca ad altri casi. Possiamo provare ad esempio a cercare
quadrati perfetti, ancora come somma di due somme di numeri dispari, le
quali si fermano, invece che a due dispari consecutivi, a due dispari che
differiscono di 4, oppure di 6 e così via. Troviamo così altri esempi di terne
pitagoriche, ma vediamo che la dimensione degli interi che ne fanno parte
diventa presto abbastanza elevata. Con l’aiuto del calcolatore elettronico
abbiamo però già determinato diverse terne, alcune delle quali hanno delle
particolari caratteristiche che abbiamo osservato.
Analizziamo i primi esempi e cerchiamo delle proprietà che potrebbero
portare ad eventuali generalizzazioni. Confrontando tra loro le terne finora
trovate, possiamo notare qualche legame? Che relazione c’è ad esempio tra
la terna (3, 4, 5) e la terna (6, 8, 10)? Sono una un multiplo dell’altra. Questa
osservazione si può generalizzare?
Sapendo che (3, 4, 5) è una terna pitagorica, ne possiamo ricavare sempre
un’altra così:
Infatti:
(3m, 4m, 5m), m ∈ Z, m ≥ 2.
(3m) 2 + (4m) 2 = 3 2 m 2 + 4 2 m 2 = (3 2 + 4 2 )m 2 = 5 2 m 2 = (5m) 2 .
Questo risultato vale in generale:
Proposizione 1.3. Se (a, b, c) è una terna pitagorica, anche (ma, mb, mc) è
una terna pitagorica, con m ∈ Z , m ≥ 2.